links: Sonnentaler auf dem Waldboden; Mitte: Sonnentaler erzeugt durch die Führungsöffnungen eines Rollladens; rechts: Waldweg. Quelle hier.
Die Führungsöffnungen im Rollladen sind durchzogen vom Rollladenband und haben folglich keine exakt runde Form. Trotzdem entstehen auf dem Boden ebenmässige Ellipsen.
Sonnentaler sind kleine, kreisrunde bzw. meist elliptische Abbilder der Sonne. Sie entstehen, wenn die Sonne durch kleine Öffnungen scheint, etwa im Wald oder hinter einem Rollladenloch.
Voraussetzung ist, dass die Öffnung, durch welche die Sonne scheint sehr klein ist. Sind im Wald die Öffnungen zu gross, entstehen einfach Schattenbilder der Bäume, jedoch keine Sonnentaler.
Ist die Öffnung jedoch genügend klein, entstehen diese regelmässig-schönen Sonnenellipsen. Die kleine Öffnung wirkt wie eine Lochkamera und erzeugt am Boden das Sonnenbild.
Steht die Sonne senkrecht über dem Boden, entstehen schöne Kreisscheiben, bei tieferem Sonnenstand werden die Kreise zu Ellipsen verzogen.
Nun stellt sich folgende Frage:
Wie kann eine unregelmässige, kleine Öffnung im Laubwerk eine so schöne Ellipse hervorrufen?
Als Erklärung betrachten wir das folgende Bild:
Sei S die Sonne und sei L ein kleines, unregelmässiges Loch im Laubwerk des Waldes. Betrachten wir den roten Sonnenpunkt im Schema links. Er wirkt als Punkt-Lichtquelle und erzeugt am Boden ein (elliptisch verzogenes) Abbild L1 des unregelmässigen Lochs L. Dasselbe geschieht mit dem blau markierten Punkt, genauer jedoch mit allen Punkten der Sonne.
Am Boden entstehen somit unzählige kleine Abbilder des Loches L. Diese Abbilder überlappen sich und liegen unendlich dicht, sodass die Information über die Form des Loches L verloren geht: Die Form des Loches wird irrelevant! Es ist, als ob jemand mit einem kleinen Musterstempel eng und überlappend stempelt: Das Muster wird nicht mehr erkennbar sein; alles wird homogen ausgefüllt unabhängig von der Form des Stempels.
Was bleibt, ist die Grossform der Sonnenscheibe, die als Ellipse am Boden sichtbar wird.
Durch den Lochkameraeffekt steht das Bild auf dem Boden seitenverkehrt und auf den Kopf gestellt.
Da die Sonnentaler Abbilder der Sonne sind, wird auch eine Sonnenfinsternis in den Talern abgebildet, die dann sichelförmig sind.
Bei schrägem Sonneneinfall entstehen elliptische Sonnentaler (a = grosse Halbachse, b = kleine Halbachse der Ellipse).
Halten wir einen Auffangschirm senkrecht zur Lichtquelle (blaue Linie), entsteht ein kreisrunder Sonnentaler mit Durchmesser b. Auf dem horizontalen Waldboden wird dieser Taler zu einer Ellipse mit Halbachsen a und b verzogen.
Es gilt: sin(x) ≈ b : a.
Ein informatives PDF zum Thema hier.
Johannes Kepler simulierte den Strahlengang, der zur Entstehung der Sonnentaler führt, mit Hilfe eines Buches, welches die Sonne repräsentierte, und einem Faden, der durch eine vieleckige, kleine Lochblende lief. Er zeigte so, dass beim nachgezeichneten Kreidebild am Boden die Form des Buches (als Mosaik kleiner Abbildungen der Blende) entstand:
Aus «Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften», Nr. 198 Über die Lichtfiguren «Dass der Sonnenstrahl, der durch irgendeine Spalte dringt, in Form eines Kreises auf die gegenüberliegende Fläche auffällt, ist eine allen geläufige Tatsache. Dies erblickt man unter riesigen Dächern, in Kirchen mit durchlöcherten Fensterscheiben und ebenso unter jedem Baume. Von der wunderbaren Erscheinung dieser Sache angezogen, haben sich die Alten um die Erforschung der Ursachen Mühe gegeben. Aber ich habe bis heute noch keinen gefunden, der eine richtige Erklärung geliefert hätte. (…) Ich brachte in der Höhe ein Buch an, das die Stelle des leuchtenden Körpers vertrat. Zwischen diesem und dem Erdboden wurde eine Tafel mit einem vieleckigen Loch befestigt: Darauf wurde ein Faden von einer Ecke des Buchs durch das Loch nach dem Erdboden hinabgelassen und derart auf dem Erdboden hin und her geführt, dass er die Ränder des Lochs streifte. Seinen Verlauf auf dem Fussboden zeichnete ich mit Kreide nach, wodurch ich auf dem Fussboden eine dem Loch ähnliche Figur erhielt. Dasselbe trat ein, wenn ich den Faden an der zweiten, dritten und vierten Ecke des Buchs anheftete und schliesslich an unzähligen Punkten des Randes. Und so zeichnete die Reihe zahlloser zarter Abbildungen des Lochs die grosse und viereckige Figur des Buches ab. Daraus ging hervor, dass (...) die Rundung (...) der Sonne zur Lösung der Aufgabe beitrage, nicht weil diese die vollendete Figur ist, sondern weil dies im allgemeinen die Form des leuchtenden Körpers ist. Dieses ist in der vorliegenden Arbeit der erste Erfolg. Übrigens hat (…) Aristoteles (…) zur Lösung des Problems eine schöne Beobachtung aufgebracht, nämlich die in ähnlicher Weise begrenzte Abbildung der [teilweise] verfinsterten Sonne, sobald sie durch eine enge Öffnung aufgefangen wird (…).» |
Bild oben: Keplerversuch. |
Wer wie Aristoteles eine Sonnenfinsternis beobachten will, kann sich entweder eine spezielle Finsternis-Brille zulegen oder sich eine lange Camera Obscura bauen.
Diese sollte für eine Sonnenbeobachtung mindestens 1 m lang sein - das Sonnenbild wird dann knapp 1 cm gross. Nie darf man direkt in die Sonne schauen!
Eine Anleitung für den Bau einer solchen Camera Obscura für die Sonnenbeobachtung liefert z.B. dieses Video.
Camera Obscura für die Betrachtung einer Sonnenfinsternis: Versandpapprolle 1200 mm x 100 mm. Ein Ende verschlossen mit kleinem Blendenloch (Richtung Sonne), das andere Ende lichtdicht abgeschlossen mit einem Transparentpapier.
Die Sonne erscheint uns unter einem Winkeldurchmesser von ca. 0.53° (Sonnendurchmesser : Sonnenentfernung ist ca. 1:108). Somit ist bei einer Rohrlänge von 1200 mm der Wert für x gleich 1200 tan(0.265°), somit 2x = 2400 tan(0.265°), das sind ungefähr 11.1 mm.
Die Grösse des Sonnenbildes lässt sich aus der Rohrlänge R viel elementarer auch so berechnen:
Sonnenentfernung : Sonnendurchmesser = 108 = R : (2x) => 2x = R : 108.
Im Beispiel oben: 2x = 1200 mm : 108 = 11.1 mm.
Mit kürzeren Cameras wird das Sonnenbild zu klein. Die Handhabung dieses langen Rohrs ist allerdings etwas knifflig.
Da die Sonnenstrahlen ungefähr parallel eintreffen, ist die Randunschärfe ungefähr gleich dem Blendendurchmesser.
In welcher Höhe h ist die Blende im Blätterwald über dem Boden? Der Boden sei horizontal! LA und LP sind gleich gross =: l.
a und b sind die Halbachsen der Sonnentaler-Ellipse.
Es ist l : b = 108 => l = 108 b.
Das Dreieck ABP ist bei P beinahe rechtwinklig.
Bei nicht allzu tiefem Sonnenstand ist die Differenz a - b gering und der zweite Summand im grünen Kasten kann gegenüber dem ersten vernachlässigt werden.
Als Faustformel für die Abschätzung der Höhe h kann bei höheren Sonnenständen somit der erste Summand 108b2/a genügen.
Beispiel 1: Eine Sonnentaler-Ellipse auf horizontalem Boden habe die Halbachsen a = 12 cm und b = 10 cm. Dies entspricht einer Sonnenhöhe von ca. 56°.
Es ergibt sich mit der Faustformel h = 108 * 100 / 12 cm = 9.00 m.
Der Korrekturterm (zweiter Summand der grün eingerahmten Formel) beträgt nur 5.53 cm, ist also vernachlässigbar.
Da die Sonnentaler ohnehin mit Unschärfen behaftet sind, erübrigt sich
eine exakte trigonometrische Berechnung. Meist genügt die einfache, grobe Abschätzungsformel mit dem ersten Summanden.
Beispiel 2: Ellipse auf horizontalem Wohnzimmerboden durch Rollladenöffnung: a = 5 cm, b = 2.6 cm.
Diesen Werten entspricht eine Sonnenhöhe von ca. 31°.
Höhe des Rollladenlochs über Boden nach Faustformel: 108 * 6.76 / 5 = 1.46 m. Korrektursummand hinten = 2.22 cm.
Da a und b infolge Unschärfe nicht völlig präzise zu ermitteln sind, empfiehlt sich die Anwendung obiger Formel nur für relativ grosse Sonnentaler (Blendenöffnung relativ weit oben, d.h. eher für Beispiel 1 als für Beispiel 2). Misst man z.B. a = 4.9 cm und b = 2.7 cm, ergibt der erste Summand bereits eine Höhe von 160.7 cm.
Auch Kirchenfenster können mit ihren kleinräumigen Farbfeldern elliptische Taler ins Kircheninnere projizieren:
