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Ist die Antwort klar?

Frage 4

   
 
  Zwei endliche Mengen haben gleich viele Elemente, wenn es eine Eins-zu-eins-Zuordnung, d.h. eine Paarungs-Funktion gibt, die jedem Element der ersten Menge genau 1 Element der zweiten Menge zuordnet. Dies überträgt man auf unendliche Mengen und sagt:
Zwei Mengen heissen gleichmächtig, wenn es eine Eins-zu-eins-Zuordnung der einen Menge in die andere gibt.
Wie denken Sie, steht es um die Gleichmächtigkeit folgender Mengen?
a) Menge der geraden natürlichen Zahlen verglichen mit der Menge aller natürlichen Zahlen?
b) Menge der Punkte einer Strecke verglichen mit der Menge der Punkte einer Geraden?
c) Menge der reellen Punkte der Einheitsstrecke (ein eindimensionales Gebilde) verglichen mit der Menge der Punkte des Einheitsquadrats (ein zweidimensionales Gebilde)?
 


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a) Eine Paarungsfunktion ist leicht zu finden: Jedem Element aus den geraden natürlichen Zahlen wird seine Hälfte zugeordnet: n -> n/2.
Also: 0 -> 0, 2 -> 1, 4-> 2, usw. Es entsteht eine vollständige Paarung beider Mengen. Kein Element beider Mengen bleibt ohne Partner; jedes Element erhält genau einen Partner zugeordnet. Ein auf den ersten Blick verblüffendes Resultat: Der Teil einer Menge (hier die Teilmenge der geraden natürlichen Zahlen) ist gleichmächtig wie die ganze Menge (hier die Menge aller natürlichen Zahlen). Dies ist charakteristisch für unendliche Mengen.

Weiterführender Link: Hilberts Hotel.

 
     
  b) Auch diese Mengen sind gleichmächtig. Die Paarung kann so vor sich gehen:  
  zuordn_strecke_gerade  
  Ein Punkt A der Strecke s wird senkrecht nach oben auf den Punkt A' des Halbkreises abgebildet. A' wird mittels der Verlängerung MA' auf A'' auf der Geraden g abgebildet. So entspricht jedem Punkt A der Strecke genau ein Punkt A'' der Geraden. Umgekehrt entspricht jedem Punkt A'' der Geraden ein Partner A auf der Strecke s. Die Paarung ist ein-eindeutig. Wie steht es mit Anfangs- und Endpunkt der Strecke s?  
     
  c) Erstaunlicherweise gelingt auch hier eine Eins-zu-eins-Paarung. Georg Cantor hat sie entdeckt. Genaueres hier.