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Integration der Gausskurve für die Normalverteilung

   
 
   
 

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  Eine Übersicht über verschiedene Methoden zu zeigen, dass die Fläche unter der Gaussschen Normalverteilungskurve gleich 1 ist, findet sich hier.      
     
 
 
 
 

1. Wir bestimmen

Mit A ist die gesamte Gaussfläche gemeint, also auch der Teil im negativen y-Bereich. Dasselbe gilt für die roten Flächenschnitte.

 

1. Fortsetzung:

Wir gehen in ein räumliches kartesisches Koordinatensystem und lassen die Fläche A, welche durch die Kurve

begrenzt sei um die z-Achse rotieren. Dabei entsteht ein Rotationskörper.

Zunächst bestimmen wir das Volumen V dieses Rotationskörpers, indem wir in Gedanken unendlich dünne Kreisscheibchen parallel zur xy-Ebene bilden, die Radius y und Höhe dz haben.

 
 
 
 
 

2. Das Volumen eines Kreisscheibchens auf Höhe z beträgt dV = y²πdz. Wir berechnen y²:


Zur unteren Integrationsgrenze für z⋅ln(z): Warum mit z gegen 0 auch z⋅ln(z) gegen 0 strebt, wird in der Bemerkung unten genauer erläutert. Man kann diese Erläuterung überspringen und gleich mit Punkt 3 weiterfahren.

Beweis-Fortsetzung Spalte rechts =>


Bemerkung zur unteren Integrationsgrenze 0:
z⋅ln(z) ist an der Stelle 0 nicht definiert: ln(0) existiert nicht. Wir denken uns stattdessen
z nicht gleich 0, sondern lediglich gegen 0 konvergierend und zeigen, dass dann |z⋅ln(z)| ebenfalls gegen 0 konvergiert.
(Da wir z gegen 0 gehen lassen wollen, wählen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit z < 1. Das nachfolgend definierte t:= - ln(z) wird dann positiv.)



Abb.: Die Funktion f(z) = z⋅ln(z) (rot) konvergiert für z gegen 0 ebenfalls gegen 0.
Grün: Die Funktion g(z) = z⋅ln(z) - z konvergiert für z gegen 0 ebenfalls gegen 0; g(1) ist gleich -1.  f und g sind definiert auf ]0 ; ∞[.

 

3. Nun bestimmen wir das Volumen V noch auf eine andere Weise, nämlich durch Erzeugen der im Bild oben links dargestellten roten Schnitte parallel zur yz-Ebene.

Diese Schnitte stellen jeweils eine in z-Richtung gestauchte Fläche A dar. Der Stauchfaktor ist für eine feste Stelle x gleich e^(-0.5x²). Der Flächeninhalt der roten Fläche an der Stelle x ist somit gleich e^(-0.5x²)⋅A.
Um das Gesamtvolumen zu erhalten, integrieren wir von x = -∞ bis x = ∞.