Denksport - Zahlrätsel

Primstift. Entfernt man in der obigen Primzahl von links nach rechts sukzessive
eine Ziffer (indem man z.B. den Bleistift links "anspitzt"), ist die verbleibende Zahl
wieder eine Primzahl. Quelle: mathsinspiration.com.
Obige Zahl ist die grösste "links-trunkierbare" Primzahl.

https://de.wikipedia.org/wiki/Trunkierbare_Primzahl
http://www.worldofnumbers.com/truncat.htm
http://oeis.org/A024785

Buchhinweis für jüngere Knobelfreudige (ab 10 J)

Euler-Club Uni Zürich

Math Problem Book I, Kin Y. Li

„Wer schwimmen lernen will, muss ins Wasser gehen,
und wer Aufgaben lösen lernen will, muss Aufgaben lösen.“
George Polya (1887 - 1985)

  1. Gesucht ist eine dreistellige Zahl. Sie ist sowohl durch 9 wie auch durch 11 teilbar. Vertauscht man die vordere und die hintere Ziffer, wird die neue Zahl nur zwei Neuntel der ursprünglichen Zahl.

  2. Gesucht ist eine vierstellige Zahl. Wenn wir sie durch 68 teilen, gibt es Rest 30. Wenn wir sie durch 90 teilen, gibt es ebenfalls Rest 30.

  3. Wieviele Zahlen zwischen 1 und 100 sind weder durch 3, noch durch 5, noch durch 7 teilbar?

  4. Gesucht sind zwei Zahlen. Man bilde ihre Summe. Man bilde auch ihr Produkt. Wenn Summe und Produkt addiert werden, erhält man 79. Wie heissen die Zahlen?

  5. Eine gesuchte Zahl liegt "fast" in der Zehnerreihe: sie ist dafür aber um Eins zu klein. Die gleiche gesuchte Zahl ist auch um 1 zu klein, um in der Neuner-, Achter-, Siebner-, Sechser-, Fünfer-, Vierer-, Dreier- und Zweierreihe zu liegen. Finden Sie eine solche Zahl?

  6. Zahlen bestehen aus Ziffern. Denken Sie sich alle Zahlen von 1 bis 100 notiert. Wieviele einzelne Ziffern würden Sie dazu benötigen?
Wie steht es mit den Zahlen von 1 bis 1000?
Und nun das Schwierigste: Jemand hat die Zahlen von 1 bis ??? aufgeschrieben und dazu 38'894 Ziffern benötigt. Um welche Zahl handelt es sich bei "???" ?

  7. Das Kartenhaus soll insgesamt 47 Stockwerke hoch werden. Wieviele Karten sind dazu nötig?

 8. Gleiche Buchstaben der folgenden schriftlichen Additionen sind durch gleiche Ziffern zu ersetzen. Wie heissen diese Ziffern?

 9. Gibt es eine vierstellige Zahl, deren Vierfaches gerade die Zahl mit umgekehrter Ziffernfolge ist?

10. Palindrom-Zahlen


Palindrome sind Ausdrücke, die sowohl von links nach rechts wie von rechts nach links gelesen, dasselbe ergeben. Beispiel: OTTO. Palindromzahlen sind z.B. 99, 747, 12321. Alle einstelligen Zahlen sind Palindromzahlen. Bei den zweistelligen Zahlen sind es 11, 22, ..., 99.
Wieviele dreistellige Palindromzahlen gibt es? Man beachte: Eine Null am Anfang gilt nicht, in der Mitte aber schon.
Wieviele vier- und fünfstellige Palindromzahlen gibt es?
Vgl. http://www.mathematische-basteleien.de.

11. Wieviele Zahlen unter 1000 haben Quersumme 5?

12. Was kann man punkto Wochentag vom 1. Januar (Neujahr) und vom 31.Dezember (Silvester) desselben Jahres sagen, wenn es sich nicht um ein Schaltjahr handelt?

13. Gibt es in jedem Jahr mindestens einen "Freitag, den Dreizehnten" oder gibt es Jahre ohne?

14. Wie geht es folgerichtig weiter? Oder: "Die nächste Zahl ist immer die Sieben."
Wie denken Sie, dass unten stehende Zahlfolge weitergeht?

Sind Sie sicher? Warum?
Um Ihr Vertrauen etwas zu erschüttern, lösen Sie einmal folgende Aufgabe:
Notieren Sie von klein zu gross die ersten elf Teiler der Zahl 2520. Welche Zahl könnte also ebensogut hinter dem grünen Fragezeichen stecken?

Und noch eine Zahlfolge. Wie denken Sie, dass nachstehende Zahlfolge weitergeht?

Sicher? Dann lösen Sie folgende Aufgabe: Zählen Sie die Anzahl Flächenstücke in nachstehender Figurenfolge. Wieviele Flächenstücke ergeben sich in Figur Nr. 6, 7, 8?

(Zu einer Fortsetzung von 1; 1; 2; 4; 8; 16; ? vgl. auch Problem 37 bzw. die sog. "Pentanacci-Zahlen".)

Eine Zahlfolge, von der man ein Anfangsstück kennt, kann auf x-beliebige Art weitergeführt werden. Man findet stets eine Regel zur selbst gewählten Fortsetzung.


Ist in einem "Intelligenztest" ein solches Anfangsstück gegeben, mit dem Auftrag "die nächste Zahl" zu suchen, kann man -als Witz- ebensogut antworten:

"Die nächste Zahl ist immer die Sieben."

Hierzu drei Beispiele:

Beispiel 1:
Welches Gesetz könnte dem Folgenstück
1,2,4,8,16,7
entsprechen? Lösung unten.

Beispiel 2:
Das Anfangsstück
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7,...
passt zum Gesetz
a(n) = (-1/907'200)n¹⁰ + (1/20'160)n⁹ - (29/30'240)n⁸ + (1/96)n⁷ - (3013/43'200)n⁶ + (19/64)n⁵ - (4523/5670)n⁴ + (1303/1008)n³ - (7129/6300)n² + (7/5)n + 1.
Dies erzeugt die Folge 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7,-32,-251,...
Man findet dieses Gesetz durch "brute force", d.h. durch Auflösen eines Gleichungssystems mit 11 Unbekannten.

Beispiel 3:
0, 2, 3, 6, 7, ...
Diese Folge passt zu folgendem Gesetz: Man notiere in englischer Sprache in umgekehrter alphabetischer Reihenfolge die Zahlwörter zuerst aller einstelligen, dann aller zweistelligen, dann aller dreistelligen, usw. Zahlen. "Zero" steht im Alphabet zuhinterst, präzediert von "Two", "Three", "Six", "Seven", ... Wie lauten die nächsten sechs Folgeglieder? (Das Beispiel entstammt der "Online-Enzyklopädie der Zahlfolgen"; s. unten.)

In der "Online-Enzyklopädie der Zahlfolgen" können solche Folgenteile eingegeben werden. Die Enzyklopädie liefert mögliche Gesetze zu Folgenstücken.
-Geben Sie in der Online-Enzyklopädie der Zahlfolgen einmal das Stück 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 ein. Sie erhalten als mögliches Gesetz:
"Niven- or Harshad-Numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits." (Folge der Zahlen, die durch ihre Quersumme teilbar sind.) Es ergibt sich:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,18, 20, 21, 24, ...

- Eingabe von 1,2,4,8,16,31 liefert:
"Maximal number of regions obtained by joining n points around a circle by straight lines. Also number of regions in 4-space formed by n-1 hyperplanes."
Es ergibt sich 1,2,4,8,16,31,57,99,163, ... (s. Kreispunkte-Aufgabe links).
Denselben Folgenanfang haben auch die Pentanaccizahlen:
(0,0,0,0,0,1),1,2,4,8,16,31,61,120,..

- Und hier eine Lösung zu Beispiel 1:
a(n) = Rest der Division 2ⁿ : 25, n = 0, 1, 2, ... Es entsteht 1, 2, 4, 8,16, 7, 14, 3, 6, ...

Eine gesetzmässig aufgebaute Zahlenfolge kann also nicht einfach durch Angabe einiger Anfangsglieder festgelegt werden. Wir benötigen eine Funktionsvorschrift, eine Regel (und nach Ludwig Wittgenstein die in gesellschaftlicher Konditionierung erlernte Fähigkeit, eine solche Funktionsvorschrift "richtig" anzuwenden).

Gegeben sind Quadratgitter wie unten gezeigt. Die Länge eines kleinen Gitterquadrätchens sei 1. Man startet bei einem Gitterpunkt und sucht einen möglichst langen zusammenhängenden Weg entlang der Gitterlinien.

a) Einstöckige Gitter (obere Zeile): Man entwickle eine Formel für die Folge der maximalen Weglängen bei einstöckigen Gittern: 4, 7, ...

b) Gleiche Aufgabe für die zweistöckigen Gitter (untere Zeile).

c) Nun betrachten wir nur noch quadratische Gitter. Man entwickle eine Formel für die maximal möglichen Weglängen in den quadratischen Gittern. Das heisst: Wenn ich bei einem Gitterpunkt starte und mit Bleistift einen möglichst langen zusammenhängenden Weg entlang der Gitterlinien zeichne: Wie lange wird dieser Weg?
Dasselbe in Form eines Streichholzrätsels: Ich lege die Gitter mit Streichhölzern. Dann entferne ich Streichhölzer so, dass die entfernten Streichhölzer einen fortlaufenden Weg bilden. Wieviele Streichhölzer kann ich maximal entfernen?

Hinweise zur Lösung:

Im 1x2-Gitter von Aufgabe b) oben findet man sofort Wege, welche jede Teilstrecke genau einmal durchlaufen ("vollständige Reise") . Dabei darf man Knoten durchaus mehrfach passieren, jede Teilstrecke darf aber nur einmal durchlaufen werden.
Ein Gitter, bei dem jede Teilstrecke genau einmal durchlaufen werden kann, sei in Anlehnung an Eulers Brückenproblem "eulersches Gitter" genannt.
Es scheint, dass das 2x4-Gitter von Aufgabe b) nicht eulersch ist (wir finden höchstens einen Weg der Länge 18, müssen also 2 Strecken unpassiert lassen). Tatsächlich können wir dies beweisen (s. Spalte rechts).

Ein Knoten, der nur Durchgangsknoten (also weder Anfangs- noch Endknoten) ist, muss in einem eulerschen Gitter eine gerade Anzahl Wegverzweigungen aufweisen, da jedem einlaufenden Weg sofort ein weggehender Weg folgt. Man sagt: Die Ordnung eines solchen Knotens sei gerade (Beispiel: der hellgrüne Knoten im Gitter oben).
Die 12 orange gefärbten Knoten haben dagegen ungerade Ordnung (Ordnung 3). Knoten ungerader Ordnung müssen aber entweder Anfangs- oder Endknoten der Reise sein.
Nun kann es bei einer Reise nur einen Anfangs- und einen Endknoten geben (diese können ev. auch zusammenfallen). In einem eulerschen Gitter ist die Anzahl der Knoten ungerader Ordnung (die Anzahl "oranger" Knoten) also höchstens gleich 2. Wir sehen also bereits, dass obiges Gitter nicht eulersch ist.

Wir können also in obigem Netz gar nicht alle Strecken durchlaufen.

Wir eliminieren orange Knoten, bis nur noch 2 solche übrigbleiben. Das tun wir, indem wir Teilstrecken löschen (die wir dann nicht begehen).
Wenn wir es geschickt anstellen, können wir mit dem Löschen einer einzigen Teilstrecke gleich 2 orange Knoten in Knoten gerader Ordnung (in "hellgrüne Knoten") umwandeln. Dies geht jedoch nicht immer; am Schluss muss ev. ein Wegstück gelöscht werden, das nur einen einzigen orangen Knoten in einen hellgrünen verwandelt:

Beim Löschen von Teilstücken sollen auch keine Sackgassen entstehen. Oben wurden die 6 violetten Stücke gelöscht. Nun sind nur noch 2 Knoten von ungerader Ordnung: der rote (den wir als Startknoten wählen) und der blaue (welcher der Zielknoten wird). Natürlich sind andere Lösungen möglich, wir sehen aber leicht, dass wir auf jeden Fall 6 Wegstücke löschen müssen, um die Zahl der ungeraden Knoten auf 2 zu reduzieren.
Das entstehende Netz (ohne die violetten Strecken) ist nun eulersch. Der Algorithmus von Fleury zeigt, dass ein solches Netz auf jeden Fall vollständig durchlaufen werden kann (Demofilmchen hier).

Für das 4x4-Gitter finden wir also einen maximalen Weg von Länge 34 (von ursprünglich total 40 Teilstrecken).

Mit Hilfe dieser Hinweise findet man nun eine Lösung von Teilaufgabe c). Dazu sind noch folgende Vorüberlegungen zu machen:

• Wieviele Teilsegmente hat ein nxn-Gitter total?
• Wieviele ungerade Knoten hat ein nxn-Gitter?
• Wieviele Teilsegmente müssen für ungerades n ≥ 3 eliminiert werden, um ein eulersches Gitter zu erhalten?
• Wieviele Teilsegmente müssen für gerades n eliminiert werden, um ein eulersches Gitter zu erhalten?
• Der Fall n = 1 ist klar und wird separat betrachtet.

Aufgrund dieser Überlegungen kann für gerade und für ungerade n separat eine Formel für die maximale Weglänge gefunden werden.

Wir finden folgende maximale Weglängen (n = 1, 2, 3, 4, ...):
4, 10, 21, 34, ...

Wer eine vollständige Erklärung sucht, gibt diese Folge in der Online-Enzyklopädie der Zahlfolgen ein: Man findet als ersten Eintrag: Maximum length of non-crossing path on nxn-square lattice: 4, 10, 21, 34, 53, 74, 101, 130, ...
Anschliessend folgt eine Herleitung der Zahlen dieser Folge.

16. Coffee Time in Memphis

Dies ist der Untertitel eines Buches, das voller hochkarätiger mathematischer Knacknüsse ist: Béla Bollobás: The Art of Mathematics - Coffee Time in Memphis, Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-69395-0. Eine illustre Gruppe von Mathematikern in Memphis traf sich regelmässig zum Kaffee in Bollobás' Büro. Dabei wurde jeweils ein mathematisches Problem gestellt und erörtert. Unabdingbare Forderung: Es musste "enjoyable" sein. Was aber ist ein "enjoyable problem"?

Hier drei auch Laien zugängliche Beispiele aus diesem sonst eher für Mathematiker gedachten Buch:

a) Zeige, dass unter n + 1 natürlichen Zahlen, von denen keine grösser als 2n ist, mindestens zwei Zahlen existieren, so dass die eine durch die andere teilbar ist.

b) Man hat ein quadratisches Stück Papier. Auf dieses Papier soll ein Dreieck mit grösstmöglichem Flächeninhalt gezeichnet werden. Auf wieviele % der Quadratfläche bringt es so ein maximales Dreieck?

c) Man zeige, dass jedes beliebige konvexe Vieleck mit Flächeninhalt 1 einem Rechteck von Flächeninhalt 2 einbeschrieben werden kann.

Was Ballobás als "enjoyable problem" bezeichnet, ist in der Mathematikdidaktik von Peter Gallin / Urs Ruf ein "Auftrag". Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Dialogisches_Lernen http://www.lerndialog.uzh.ch/model.html

Ein "enjoyable problem" zeigt oft folgende Merkmale:

• Einfache Aufgabenstellung; man hat sogar oft das Gefühl, "zu wenig" Angaben erhalten zu haben, was jedoch nicht der Fall ist.
• Die Lösung ist nicht einfach eine Routineangelegenheit, sondern verlangt oft etwas Einfallsreichtum, ohne jedoch hochspezialisiertes Wissen zu benötigen. "Pictouresque" Lösungen - oft mit elementaren Mitteln möglich - sind gefragt.
• Oft weisen solche Probleme verschiedene "Tiefen" auf: Auf einem etwas oberflächlichen Niveau kann man herumexperimentieren, auf tieferen Niveaus gelangt man in mathematisch interessante Sphären.
  Ein Beispiel dafür ist auch Problem 15 oben: Man kann möglichst lange Wege im Quadratgitter einfach experimentell suchen. In weiteren "Tiefenlevels" kann man die Aufgabe zunehmend mathematisch anpacken und gelangt so ins Gebiet der Graphentheorie.

Ein Billardtisch habe die Länge x und die Breite y. Wir nehmen zunächst an, dass x und y teilerfremd sind.

Von unten links wird ein Stoss im Winkel von 45° geführt. Schliesslich landet die Kugel nach etlichen Bandenberührungen im Loch unten rechts (Ecke B).

Literatur:
Georg Polya: Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1, Birkhäuser 1969, p.240
Nigel Langdon, Charles Snape: Mathematische Schatzkiste, Klett-Verlag 2006, ISBN 3-12-722760-4

Man kann z.B. folgende Fragen untersuchen:

a) Wieviele rote Einheiten lang (s.Bild links) ist der Weg vom Start bis zum Zielloch? (Eine "rote Einheit" ist die Länge der Diagonale eines kleinen Quadrätchens des Gitters.)

b) Seien a(x,y), b(x,y), c(x,y) und d(x,y) die Anzahl Bandenberührungen an den Seiten a, bzw. b, c, d. Entwickeln Sie eine Formel dafür (in Abhängigkeit von x und y).

c) Können Sie das Ziel-Loch (A, B, C oder D) aus den Masszahlen x und y vorhersagen?

d) Lassen sich die Ergebnisse von a) bis c) auf nicht notwendig teilerfremde x und y verallgemeinern?

e) Wie entsteht der Knoten unten links aus dem Gitternetz (hier liegt ein 8x4-Gitter vor)? Der abgebildete Knoten kann in einem Zug durchlaufen werden und der Weg führt durch sämtliche Teilquadrätchen. Bei welchen Wahlen von x und y ist dies der Fall, bei welchen nicht?
Wie lange ist der Knotenweg ausgedrückt durch x und y?
Bei einem 8x5-Gitter wäre das Zeichnen eines solchen Knotens nicht möglich. Welche Gitter ermöglichen das Zeichnen solcher Knoten, welche nicht?

Links: "Billardtisch-Knoten"; rechts: Knotenfigur der Jokwe, Angola.

a) Gibt es in der Stadt Zürich zwei nicht kahlköpfige Personen, die exakt gleich viele Haare auf dem Kopf haben? (Niemand hat mehr als 300'000 Kopfhaare.)

b) Aus der Vorrunde der Schweizerischen Mathematik-Olympiade 2011:
An der Tafel stehen 11 natürliche Zahlen. Zeige, dass man aus diesen Zahlen einige (vielleicht alle) wählen und dazwischen die Zeichen + und - so platzieren kann, dass das Ergebnis durch 2011 teilbar ist.

(Mit 11 Zahlen kann diese Aufgabe bis ins Jahr 2047 gestellt werden mit der Bedingung, dass das entstehende Ergebnis durch die aktuelle Jahreszahl geteilt werden kann. Ab dann sollten 12 Zahlen an der Tafel stehen. "11 Zahlen" im Jahr 2011 war natürlich besonders schön.)

Das Schubfachprinzip in seiner einfachsten Form:

Sind mehr als n Gegenstände in n Schubladen zu verstauen, so enthält mindestens eine Schublade mehr als einen Gegenstand.

Links zum Schubfachprinzip und zur Schweizerischen Mathematik-Olympiade:

Wikipedia
IMOSuisse
IMO Suisse: Lernskripte
Buchtipp: Diskrete Mathematik für Einsteiger
Pigeon-hole principle: fun applications

Und noch eine "Schubfach-Aufgabe" (Internat. Math. Olympiade IMO 1972):

Man hat eine Menge von 10 natürlichen Zahlen zwischen 10 und 99. Kann man daraus immer zwei disjunkte Teilmengen bilden, welche summengleich sind?

Ein weiteres Beispiel für die Anwendung des Schubfachprinzips
Quelle: http://www.ihp.fr/en/audiovisual. Video-Vorlesung von Valentin Feray, Universität Zürich, gehalten am Institut Henri Poincaré, 9.11.2013

Satz: Jede reelle Zahl x kann wie folgt durch einen Bruch p / q angenähert werden:
Man wählt eine natürliche Zahl n als obere Begrenzung des Nenners q. Man findet dann einen Zähler p, sodass der Betrag der Abweichung | x - p/q | ≤ 1/(nq) ist.

Beweis: (Wir beschränken uns o.B.d.A. auf positive x.)
Zu einer reellen Zahl x definieren wir mit dem Zeichen {x} den Nachkomma-Teil von x. Beispiel: {π} = 0.14159...
Wir betrachten {0x}, {1x}, {2x}, ..., {nx}. Das sind n+1 Zahlen zwischen 0 und 1.
Nun definieren wir folgende Schubladen:
[0, 1/n[, [1/n, 2/n[, ... , [(n-1)/n, 1[. Das sind n Schubladen.
Wir versorgen die n+1 Zahlen in die n Schubladen. Nach dem Schubfachprinzip gibt es mindestens 1 Schublade, die mehr als eine Zahl enthält. Seien {ix} und {jx} in derselben Schublade, d.h. | {ix} - {jx} | ≤ 1/n.
Es folgt die Existenz einer Ganzzahl p mit | (ix - jx) - p | ≤ 1/n.
Mit q = | i - j | folgt | qx - p | ≤ 1/n und somit | x - p/q | ≤ 1/(nq), q.e.d.

Illustration des Satzes links am Beispiel von π und n = 10. Gesucht ist also ein Näherungsbruch für π mit Nenner ≤ 10

{0π} = 0,      {1π} ≈ 0.14, {2π} ≈ 0.28, {3π} ≈ 0.42, {4π} ≈ 0.56,   {5π} ≈ 0.71,
{6π} ≈ 0.85, {7π} ≈ 0.99, {8π} ≈ 0.13, {9π} ≈ 0.27, {10π} ≈ 0.42. (11 Zahlen)

10 Schubladen:
[0, 0.1[, [0.1, 0.2[, [0.2, 0.3[, , ... [0.9, 1[

Folgende Schubladen enthalten 2 Zahlen:

[0, 0.1[   enthält {0π} und {8π}
[0.2, 0.3[ enthält {2π} und {9π}
[0.4, 0.5[ enthält {3π} und {10π}.

Es ist also | {10π} - {3π} | = 0.00885... ≤ 1/10 => | 10π - 3π - p | = | 7π - p | ≤ 1/10.

Es ergibt sich p = 22 und q = 7 und | π - p/q | = | π - 22/7 | ≤ 1/70.

Im Jahr 1878 entdeckte Georg Cantor, dass sich die Menge der Bruchzahlen "aufreihen" lässt - natürlich nicht der Grösse nach. Dies ist erstaunlich, liegen die Brüche doch "unendlich dicht" auf der Zahlgeraden: Zwischen zwei noch so nahe beisammen liegenden Bruchzahlen befinden sich unendlich viele weitere und dazwischen erneut unendlich viele... Und dieses "Chaos" sollte in eine Lese-Abfolge gezwungen werden können?
Für einen dialogisch-heuristischen Zugang zu diesem Thema siehe hier.

Cantor ordnete die Brüche wie folgt (Schema leicht modifiziert):

Der Einfachheit halber lassen wir erweiterte Brüche, die denselben Wert wie früher aufgezählte Brüche haben, stehen (und zählen sie noch einmal auf). Wir lesen die abgebildete Pyramide von oben nach unten und von links nach rechts (wie einen normalen Lesetext). Denken wir uns die Pyramide unten ins Unendliche fortgesetzt, passieren wir beim Lesen sämtliche Brüche, ohne einen einzigen auszulassen (wie gesagt lesen wir nach 1/2 auch 2/4, 3/6, usw. noch einmal, was uns hier aber nicht stören soll).

Eine unendliche Menge, die in eine Leserichtung gezwungen werden kann, so dass jedes Element irgendwann aufgezählt wird, wird abzählbar unendlich genannt. Die Menge der Brüche ist also abzählbar unendlich und somit von gleicher Unendlichkeitsstufe wie die Menge der Natürlichen Zahlen.

Jeder Bruch a/b erhält durch diese Pyramide eine Platznummer n(a,b). Beispiel: 2/3 steht auf Platz Nr. 8, 2/4 auf Platz Nr. 12, 3/3 auf Platz Nr. 13, usw.

a) Welche Platznummer hat der Bruch 577/408?

b) Welcher Bruch steht auf Platz 100 ?

c) Man entwickle eine Formel für die Platznummer n(a,b) des Bruches a/b.

Lösungen und weitere Details zu Brüchen und reellen Zahlen hier (pdf).

Die folgenden sehr einfachen Aufgaben a) bis c) stammen aus Fischer, Roland; Malle, Günther: Mensch und Mathematik, Mannheim, Wien, Zürich, Bibliographisches Institut, 1985, ISBN 3-411-03117-4, p.72:

a) Denke dir eine Zahl. Addiere 10. Verdopple das Ergebnis und subtrahiere das Doppelte der ursprünglichen Zahl. Du erhältst 20. Warum funktioniert das für jede gedachte Zahl?

b) Das um 1 verminderte Quadrat einer natürlichen Zahl ist nur für die Zahl 2 eine Primzahl. Man beweise diese Aussage.

c) Untersuche die folgenden Aussagen:

• 3⋅1 + 1 = 2⋅2
• 6⋅4 + 1 = 5⋅5
• (7/2)⋅(3/2) + 1 = (5/2)⋅(5/2)
• 2.1⋅0.1 + 1 = 1.1⋅1.1

d) Und hier eine Aufgabe aus Deiser,O., Lasser,C., Vogt,E., Werner,D.: 12x12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik, Heidelberg, Spektrum-Verlag, 2011, ISBN 978-3-8274-2297-2:
Seien x, y und n ganze Zahlen. Zeigen Sie: Die Gleichung x² + y² = n hat keine ganzzahligen Lösungen x, y, wenn n bei Division durch 4 Rest 3 ergibt.

e) Schnelles Quadrieren: Will man 65² ermitteln, kann man so vorgehen:
Man rechnet 60⋅70  + 25 = 4225. Dies funktioniert auch bei andern Fünferzahlen:
45² = 40⋅50  + 25 = 2025. Begründen Sie diesen "Trick".

a) Man zeichne eine Gerade. Darauf setze man n = 0, 1, 2, 3, 4, ... Punkte. In wieviele Teilstücke wird die Gerade dadurch unterteilt?

b) Man nehme eine Ebene, z.B. ein leeres Blatt Papier. Man zeichne darauf in möglichst allgemeiner Lage n = 0, 1, 2, 3, 4, ... Geraden (so, dass jeweils möglichst viele neue Teilfelder entstehen). In wieviele Teilfelder wird die Ebene jeweils unterteilt?

c) Und nun das Schwierigste: Man denke sich den Raum durch n = 0, 1, 2, 3, 4, ... Ebenen unterteilt (wieder so, dass möglichst viele neue Raumteile entstehen). In wieviele Raumteile wird der Raum dadurch jeweils unterteilt? Wie steht es z.B. für n=5?

Dieses Problem wurde vom bekannten Mathematiker Georg Pólya gerne auch mathematischen Laien gestellt.
Näheres hier. (Aus: Pólya: Mathematik und plausibles Schliessen, Birkhäuser, Bd.1, 3.Auflage 1988)

Hier einige Lösungen: g(n) = Anzahl Geradenteile bei Teilung einer Geraden durch n Punkte, f(n) = grösstmögliche Anzahl Flächenteile bei Teilung einer Ebene durch n Geraden, r(n) = grösstmögliche Anzahl Raumteile bei Teilung des Raumes durch n Ebenen.

d) Finden Sie für die Entwicklung der f(n)-Spalte eine anschauliche Erklärung und ein Gesetz? Man kann ein rekursives Gesetz finden, d.h. ein Gesetz, das f(n+1) aus f(n) berechnet oder ein funktionales Gesetz, das f(n) direkt aus n berechnet. Können diese Gesetze anschaulich-geometrisch begründet werden?

e) Gibt es eine Beziehung zwischen f(n)- und r(n)-Werten? Lässt sich auch eine solche Beziehung anschaulich begründen? Lässt sich eine Formel für r(n) direkt aus n finden?

Diophantus von Alexandrien war ein Mathematiker des antiken Griechenlands. Heute nennt man Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen ihm zu Ehren diophantische Gleichungen.

Problem 1: Das Altersrätsel um Diophantus
Das Rätsel ist in der Form der griechischen Hexameter verfasst. Hier eine stilisiertere Form (Quelle: Ch.Snape, H.Scott: Mathematischer Zauberkasten, Klett, 1995) :

• Diophantus' Kindheit dauerte ein Sechstel seines Lebens.
• Nach einem weiteren Zwölftel liess er sich einen Bart wachsen.
• Nach einem weiteren Siebtel heiratete er.
• Fünf Jahre danach wurde sein Sohn geboren.
• Dieses Kind lebte nur die Hälfte der Lebensjahre seines Vaters.
• Diophantus starb vier Jahre nach seinem Sohn.

Wie lange lebte Diophantus?

* * *

Problem 2: Die diophantische Gleichung ax + by = c
a, b, c, x und y sollen ganze Zahlen sein. Eine solche ganzzahlige Gleichung wird diophantische Gleichung genannt.

Satz:
Die diophantische Gleichung ax + by = c (a, b, c ganze Zahlen) ist genau dann ganzzahlig lösbar, wenn der grösste gemeinsame Teiler (ggT) von a und b auch ein Teiler von c ist.

Der Beweis benützt die Tatsache, dass der ggT d von a und b als ganzzahlige Linearkombination von a und b dargestellt werden kann: d = λ⋅a + μ⋅b (s. Kasten rechts). Mit Hilfe dieser Tatsache kann der Beweis leicht geführt werden. Versuchen Sie, diesen Beweis zu führen.

Aufgabe:
Suchen Sie (alle) ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung
a) -x + 2y = 3
b) 851x + 444y = 111.

(Wie findet man weitere Lösungen, wenn man bereits irgendeine Lösung (eine sogenannte Partikularlösung) gefunden hat? Dies ist bereits eine recht knifflige Aufgabe. Tipp: Zeigen Sie dass die Differenz zweier Lösungen von ax + by = c eine Lösung der homogenen Gleichung ax + by = 0 ist und suchen Sie alle Lösungen dieser homogenen Gleichung. Die allgemeinen Lösungen sind dann gleich homogene Lösungen plus Partikularlösung. Näheres: s. Link unten.)

Lösungsverfahren für diophantische Gleichungen ax + by = c hier.

Problem 3: Pythagoräische Zahlentripel

Dies sind ganzzahlige Lösungen der Pythagoras-Gleichung x² + y² = z².
Beispiele: 3² + 4² = 5²;  5² + 12² = 13². Die Lösungen stellen die ganzzahligen Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ("pythagoräisches Dreieck" genannt) dar.

Das rechtwinklige 3 : 4 : 5-Dreieck wurde angeblich bereits im alten Ägypten von den "Seilspannern" (Harpedonapten) verwendet: Ein geschlossenes Seil wurde mittels Knoten in 12 gleich grosse Abschnitte eingeteilt. Spannte man mit dieser "Zwölfknotenschnur" ein 3:4:5-Dreieck auf, entstand ein rechter Winkel, der für Bau- und Feldmessungen benützt werden konnte.

Man findet alle gekürzten pythagoräischen Zahlentripel durch die bereits den alten Griechen bekannten Formeln

2mn;     ( m² - n²);     ( m² + n²),

wobei m, n natürliche, zueinander teilerfremde Zahlen sind, m > n. m und n müssen ferner verschiedene Parität haben (d.h. sind gerade / ungerade oder ungerade / gerade).

Beispiel: m = 5, n = 2 erzeugt das pythagoräische Tripel 20; 21; 29.
Erzeugen Sie mit Hilfe obiger Formeln einige pythagoräische Tripel.

Genaueres und eine Herleitung obiger Formeln hier. (pdf)

Aufgabe: Beweisen Sie mit Hilfe obiger Formeln

a) In jedem pythagoräischen Zahlentripel kommen eine durch 3, eine durch 4 und eine durch 5 teilbare Zahl vor (die Eigenschaften können sich in einer der Zahlen kumulieren).

b) Die Flächeninhalte aller pythagoräischen Dreiecke (d.h. aller ganzzahliger rechtwinkliger Dreiecke) sind stets ein Vielfaches von 6.

c) Das Produkt der 3 Zahlen eines pythagoräischen Tripels ist durch die Summe der 3 Zahlen ohne Rest teilbar.

d) Sei die Hypotenuse eines ganzzahligen rechtwinkligen Dreiecks eine Primzahl ≥ 3. Welche Primzahlen kommen als Hypotenuse in Frage, welche nicht?

(Teilaufgabe d nach Georg Pòlya: Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1, p. 101ff, Birkhäuser, 2. Auflage, 1969.)

Problem 4: Polygone im ganzzahligen Punktgitter

Dies ist eine recht knifflige Aufgabe.

Gegeben ist ein Polygon mit Ecken auf ganzzahligen Gitterpunkten. Finden Sie eine Formel, welche die Fläche des Polygons aus der Anzahl i der im Innern des Vielecks liegenden Gitterpunkte und der Anzahl r der auf dem Rand liegenden Gitterpunkte angibt.

Beispiel:

Gitterpolygon mit r = 15 Randpunkten (rot) und i = 109 Innenpunkten (grau) mit einem Loch. Flächeninhalt 116.5 Häuschen.

Arbeiten Sie zunächst mit einfacheren Polygonen ohne Loch, d.h. finden Sie eine Formel für Gitterpolygone ohne Loch:

Erst dann kann die Frage angegangen werden, wie ein Loch die Formel verändert. Die Formel für Polygone mit Loch ist leicht verschieden von derjenigen ohne Loch.

Problem 5: Diophantische Vektoren

Obenstehende Vektor-Tripel haben eine ganz besondere "diophantische" Eigenschaft, d.h. abgesehen davon, dass ihre Koordinaten ganzzahlig sind, sind noch zwei weitere Eigenschaften "versteckt" (die eine hat wiederum mit Ganzzahligkeit zu tun).

Finden Sie die gesuchten Eigenschaften?

Renoir: Déjeuner des canotiers
Bildquelle: http://en.wikipedia.org/

Wenn Sie mit andern Personen irgendwo eingeladen sind, so gibt es für je zwei Personen unter den Gästen genau zwei Möglichkeiten: Die beiden Personen kennen sich bereits oder sie kannten sich bisher noch nicht.

Zeigen Sie: Wenn sich 6 Personen treffen, so gibt es stets mindestens 3 Personen, die sich gegenseitig bereits kennen (Clique von mindestens 3 Personen) oder 3 Personen, die sich gegenseitig bisher noch nicht kannten ("Anti-Clique" von mindestens 3 Personen).

Falls Sie die Sache grafisch darstellen wollen, wählen Sie für die Relation "kennen sich bereits" die Farbe Grün, für die Relation "kannten sich bisher noch nicht" die Farbe Rot.

Ramsey's Frage war: Wieviele Personen müssen mindestens eingeladen werden, sodass mindestens m Personen sich kennen oder mindestens m Personen sich bisher noch nicht kannten? (m = 0, 1, 2, 3, 4,...). Diese minimale Anzahl Geladener ist die Ramseyzahl R(m).

Ramsey hat bewiesen: Zu jedem m gibt es eine Ramseyzahl R(m).

Das Problem ist jedoch nur bis m = 4 sicher gelöst. Für m = 5 weiss man bisher nur, dass R(m) zwischen 43 und 49 liegen muss.

Siehe: Ramsey's Theorem (Wikipedia)

Auf wieviele Arten lässt sich ein Quadrat in

a) 1   
b) 2   
c) 3   
d) 4   
e) 5

flächengleiche Rechtecke teilen?

Die Rechtecke müssen flächengleich, jedoch nicht kongruent sein.

Eine mögliche Teilung für n = 4. Wie sind die Längen und Breiten der Teilrechtecke bemessen, wenn die Quadratseite Länge 1 hat? Wie sehen die andern Aufteilungen des Quadrats in 4 flächengleiche Rechtecke aus?

Exkurs: Quadrat in n flächengleiche Dreiecke teilen

Satz: Dies geht genau für gerade n.

Der Beweis ist nicht einfach.

Rechts eine Pflästerung für n = 12. Jedes Teildreieck hat Fläche 1/12, wenn das Quadrat das Einheitsquadrat ist.

• Man bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des roten Dreiecks, wenn das Quadrat die Eckoordinaten (0 | 0), (1 | 0), (1 | 1) und (0 | 1) hat.
• Ist das rote Dreieck rechtwinklig oder nicht?

30. Seltsame Kilometerstände

Man bestimme die Lösungsmenge für x:

log_x(7³) - log₇(x) = 2

Frau Klug mietet für einen Transport ein Auto. Beim Start schaut sie auf den Kilometerzähler. "Interessanter Kilometerstand", denkt sie, "78987 km, diese Zahl kann man von links nach rechts oder von rechts nach links lesen." Mit dieser Spiegelzahl auf dem Zähler fährt sie los, auf Landstrassen, durch verschiedene Dörfer, aber nie auf Autobahnen, bis sie -merkwürdige Autofahrt!- nach genau zwei Stunden ihr Ziel erreicht. - Doch die nächste Merkwürdigkeit folgt sogleich: Wie sie am Ziel auf ihren Kilometerzähler schaut, zeigt dieser erneut eine Spiegelzahl.

Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit ist Frau Klug gefahren?

a) Man bilde eine Zahl aus lauter Ziffern 1 und zwar mit einer geraden Anzahl von Ziffern. Davon subtrahiere man die Zahl, die nur halb so viele Ziffern besitzt und die nur aus Ziffern 2 besteht.

Man zeige, dass die entstehende Differenz stets eine Quadratzahl ist.

Beispiel:

111111 - 222 = 110'889 = 333².

b) Ohne Computer zu lösen:
Mit wievielen Nullen endet die Zahl 100! ("100 Fakultät"), d.h. die Zahl
100⋅99⋅98⋅...⋅1 ?

c) Wieviele Ziffern besitzt die folgende Zahl (die grösste, die man mittels der "üblichen" Rechenoperationen aus drei Ziffern herstellen kann)? Taschenrechner mit log-Taste erlaubt.

Wie lange ungefähr wäre ein Papierstreifen, der diese ausgeschriebene Zahl in Schriftgrösse 10 (Courier, d.h. jedes Zeichen hat gleiche Breite) enthielte?
Schriftprobe in Schriftgrösse 10:
0000000000 (10 Zeichen <-> 1.5 cm)

d) Wie lautet die Endziffer folgender Zahl?

Ein Stab bricht durch n Bruchstellen in n+1Teile. Wir nehmen an, die Bruchstellen entstünden völlig zufällig (jede Bruchstelle sei gleich wahrscheinlich). Wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass mit den Bruchstücken ein konvexes (n+1)-Eck gelegt werden kann?
Da diese Aufgabe sehr schwierig ist, beschränken wir uns auf n = 2 (s. Bild rechts), d.h. wir könnten die Aufgabe so formulieren:

Tipp: Man wähle Stab- oder Spaghetti-Länge =1. Dann gilt für alle n:
Ein konvexes n-Eck kann nicht gelegt werden, wenn eines der Bruchstücke eine Länge von ≥1/2 aufweist. Gilt auch die Umkehrung?

In einer Schulklasse befinden sich 25 Kinder, 15 Knaben und 10 Mädchen. Die Lehrerin wählt zufällig 2 Kinder aus. Sie bemerkt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine geschlechtergemischte Zweiergruppe entsteht, gerade 1/2 beträgt.

Mit welchen andern Personenzahlen (Klassengrösse, Anzahl Knaben bzw. Mädchen) wäre die Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1/2, beim zufälligen Auswählen von 2 Personen eine geschlechtergemischte Zweiergruppe zu erhalten?

Die Internationale Mathematik-Olympiade (IMO), ein Wettbewerb für mathematisch hochbegabte Personen, zu dem jedes Land 6 Teilnehmerinnen oder Teilnehmer entsenden darf, existiert seit 1959 (s. Link hier). Eine der schwierigsten Aufgaben war im Wettbewerb 1986 enthalten:
An den Ecken eines Fünfecks steht je eine ganze Zahl; die Summe aller Zahlen ist positiv. Stehen an drei aufeinanderfolgenden Ecken die Zahlen (a, b, c), wobei b negativ ist, so darf man sie durch (a+b, -b, b+c) ersetzen. Bricht dieses Verfahren irgendwann ab?
Die Lösungsstrategie besteht darin, jeder Konfiguration der 5 Zahlen a, b, c, d, e eine natürliche Zahl durch eine Funktionsvorschrift so zuzuordnen, dass von Schritt zu Schritt diese Zahl echt kleiner wird. Ist dies möglich, muss der Prozess zwangsläufig einmal enden.
Die Aufgabe ist äusserst schwierig; sie wurde am Wettbewerb immerhin von 11 der 210 teilnehmenden Personen gelöst.

Für den Download eines umfangreichen IMO-Kompendiums im Internet suchen nach "The IMO Compendium".

Und hier (rechts) unsere Light-Variante:

Wir vereinfachen die Aufgabe, indem wir anstelle eines Fünfecks lediglich ein Dreieck betrachten:

An den Ecken eines (gleichseitigen) Dreiecks steht je eine ganze Zahl. Die Summe aller drei Zahlen ist positiv. An den Ecken stehen die Zahlen a, b, c. Ist b negativ, besteht ein "Schritt" darin, a durch a + b zu ersetzen, b durch -b und c durch c + b.
So entstehen drei neue Zahlen. Mit diesen verfährt man gleich, sofern noch eine der drei Zahlen negativ ist. Das Verfahren endet, wenn keine negative Zahl mehr vorhanden ist. Man beweise, dass das Verfahren auf jeden Fall -wie immer man auch vorgeht- endet. (Man finde eine Zuordnung, die jeder Situation eine natürliche Zahl zuordnet, die von Schritt zu Schritt abnimmt. Wie könnte eine solche Funktion aussehen?)
Um mit dem Problem vertraut zu werden, spiele man am besten einige Beispiele durch.
Nachdem für das Dreieck ein Resultat gefunden wurde, kann ev. eine Verallgemeinerung aufs Viereck und dann aufs Fünfeck erfolgen.

Diese Aufgabe stammt aus der Longlist der Aufgaben zur IMO 1976 (leicht modifiziert):

Man beweise, dass es eine Zahl n gibt, so dass in der Dezimaldarstellung von 7ⁿ eine Serie von m aufeinanderfolgenden Nullen auftritt.

37. Treppenstufen

In seinem äusserst anregenden Buch "Die Bändigung der Unendlichkeit", Edition Zeitblende, ISBN 978-3038000242, präsentiert und Armin P. Barth das folgende Treppenrätsel:

Auf wie viele Arten kann man 8 Treppenstufen mit lauter Ein- oder Zweistufenschritten ersteigen (ohne Rückwärtsbewegung)?

Versuchen Sie sich an dieser Aufgabe.

Wir erweitern diese Aufgabe noch:

- Auf wie viele Arten kann man n Treppenstufen mit Ein-, Zwei- oder Dreistufenschritten ersteigen (immer ohne Rückwärtsbewegung)?

- Auf wie viele Arten kann man n Treppenstufen mit 1-, 2-, 3-, ... , m-Stufenschritten ersteigen?

38. Summenzerlegung einer natürlichen Zahl m

- Auf wie viele Arten kann man m Treppenstufen mit 1-, 2-, 3-, ... , m-Stufenschritten ersteigen (ohne Rückwärtsbewegung)?

Wir können dasselbe Problem inhaltlich auch anders formulieren:

- Es liegen m Spielsteine in einer Reihe auf dem Tisch. Auf wie viele Arten kann man zwischen diese Steine Trennstäbe legen (max. 1 Trennstab zwischen zwei benachbarte Steine)?

- Auf wie viele Arten kann man die natürliche Zahl m in Summanden zerlegen?
  (1+1+3, 1+3+1 und 3+1+1 sollen hier als verschiedene Arten gelten.)

Anschlussproblem zu 38:

Gemäss Nr. 38 kann ich die Zahl 4 auf 2³ = 8 Arten in Summanden zerlegen:

4
3+1
2+2
2+1+1
1+3
1+2+1
1+1+2
1+1+1+1

Nun wollen wir jedoch zusätzlich diejenigen Fälle, die sich durch Anwendung des Kommutativgesetzes ineinander überführen lassen, nicht mehr als verschiedene Fälle unterscheiden (siehe Einfärbung links: Wir identifizieren die gleichfarbigen Varianten). Nun existieren nur noch 5 Varianten zur Zerlegung der Zahl 4. Man sagt: Es gibt 5 Partitionen der Zahl 4.

a) Wie viele Partitionen der Zahl 5 gibt es?

b) Wie viele Partitionen mit genau 3 Summanden zur Zahl 9 gibt es?

c) Wie viele Partitionen mit genau 4 Summanden zur Zahl 9 gibt es?

Suche alle Paare (x / y) natürlicher Zahlen, die die Gleichung

x³ - y³ = 91

erfüllen.

Die Quotientenfolge der Fibonacci-Folge, also die Folge
1:1; 2:1; 3:2; 5:3; 8:5; 13:8; usw., konvergiert gegen den Grenzwert
(√5 + 1) /2, welcher Lösung der Gleichung x² - x - 1 = 0 ist.

Wie sieht es mit den Quotientenfolge der Tribonacci-, Tetranacci-, Pentanacci-Folge (usw.) aus?

Ein Quadrat lässt sich in paarweise verschiedene kleinere Quadrate unterteilen. Hier die Unterteilung mit der kleinst möglichen Anzahl an Unterquadraten (21):

Quelle:

http://www.squaring.net/sq/ss/spss/o21/spsso21.html

http://www.squaring.net/history_theory/brooks_smith_stone_tutte.html

Seien alle Quadratseiten ganzzahlig.

Welche kleinstmögliche, ganzzahlige Masszahl hat das kleinste Quadrat? Welche das grösste?

Welche kleinstmögliche, ganzzahlige Seitenlänge hat das ganze Quadrat?

Zusatz-Aufgabe:

Zeigen Sie, dass Analoges in einem Würfel nicht möglich ist, d.h. dass es unmöglich ist, einen Würfel in lauter verschiedene kleinere Würfel zu unterteilen.

Die Argumentation benötigt keinerlei mathematische Formeln!

Quelle für die Zusatzaufgabe:
Ian Hacking: Why is there Philosophy of Mathematics at all?, Cambridge University Press 2014, 978-1-017-65815-8

Zwei Rechtecksunterteilungen in lauter verschiedene Quadrate

Welches (gekürzte) Längen- / Breitenverhältnis hat obiges Rechteck?

rechts: Unterteilung eines Dominosteines (2 : 1) in 22 verschiedene Quadrate.

Das kleinste Quadrat hat Seitenlänge 2.

Rätsel 1

Welche natürlichen Zahlen lassen sich nicht als Summe fortlaufender natürlicher Zahlen schreiben, wenn wir von der trivialen Darstellung n = n absehen?

Beispiel: 33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 lässt eine solche Darstellung zu, entspricht also nicht der Aufgabenstellung.

Zusatzfrage: Auf wieviele Arten (und wie) lässt sich 2021 als Summe fortlaufender natürlicher Zahlen schreiben?

Rätsel 2 (Vorrunde SMO 2018)

Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl. Wir betrachten alle voneinander verschiedenen positivenTeiler von n ohne den Teiler n selber. Man bilde das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Teiler. Man bestimme alle n ≥ 2, bei denen dieses kgV ≠ n ist.

Beispiel: n = 45. Teiler ≠ 45: 1, 3, 5, 9, 15. kgV dieser Teiler: 45. 45 fällt also weg.

Die Person, die den Trick vorführt, hat ein Buch vor sich. Sie fordert eine erste Person auf, irgend eine natürliche Zahl zwischen 2 und 99 zu wählen und einer zweiten Person weiterzusagen. Diese soll dann jede Ziffer quadrieren und diese Quadrate addieren. Dies ergibt eine neue Zahl, die einer dritten Person weitergegeben wird.

So geht es weiter, bis die zehnte Person eine Zahl erhält und sie bekannt gibt. Die vorführende Person nennt nun sofort das erste Wort, das sich im Buch auf der betreffenden Seite befindet.

Kleine Zusatzbedingung: Wenn man 1 erhält, geht es ja stets mit 1 weiter. Das ist uninteressant. Wer also 1 erhält, gibt der nächsten Person eine 2 weiter.

Fragen:

• Muss diese Person alle ersten Wörter jeder Buchseite kennen?
• Wenn nein: Wie viele Wörter muss die vorführende Person kennen? Von welchen Seiten stammen sie?

Beispiel: Die erste Person denkt sich 90. Sie rechnet: 9²+0²=81.
Die zweite Person erhält also 81 und rechnet: 8²+1²=65 und gibt dieses Resultat weiter.
Die nächsten erhaltenen Zahlen sind 61, 37, 58, 89, 145, 42 und schliesslich 20.
Die vorführende Person nennt sofort das erste Wort im Buch auf Seite 20.

Kann es ein Vieleck geben, bei dem alle Lote vom Schwerpunkt auf die verlängerten Seiten stets ausserhalb der Seiten verlaufen?

Das Beispiel rechts erfüllt diese Bedingung nur für die Lote l1 und l2.

Aufgabe zum Netzwerk oben:

Man ermittle für jeden der Punkte 1 bis 7 den Zwischenzentralitätswert.

Links:

Diplomarbeit B.Möller
Text Dr. M.Scholz
Netzwerkanalyse; Wikipedia

Die Graphentheorie hat viele konkrete Anwendungen. Eine davon ist die soziale Netzwerkanalyse. So werden u.a. Netzwerke der Mafia analysiert, um optimale Verhaftungsstrategien zu ermitteln. Es bringt ja wenig, in einem Netzwerk eine unwichtige Randfigur zu verhaften, um dann die zentralen Figuren aufzuschrecken und zu warnen. Man sollte möglichst die "grossen Fische" aus dem Netz entfernen, um dieses zu zerstören.

Wer aber ist in einem mafiösen Netz wichtig? Hat man das Netzwerk genügend analysiert, kann man es als Graph darstellen: Knoten sind die involvierten Personen, Kanten die direkten Verbindungen zwischen ihnen.

Es sind jedoch nicht die Personen mit den meisten Verbindungslinien, welche die zentralen Figuren des Netzes sind. Eine unwichtige Randfigur kann sehr viele Kontakt-Linien aufweisen, weil sie ev. zahlreiche untergeordnete Aufgaben erledigen muss. Die zentralen Figuren jedoch achten darauf, die wichtigen (strategischen) Informationen über möglichst wenig Umwege zu übermitteln. Das heisst: Die wichtigen Figuren haben im Graphen eine Position inne, über die sogenannte kürzeste Wege laufen. Die Frage lautet somit: Bei wem gehen möglichst viele kürzeste Kommunikationswege durch?

Die sogenannte Zwischenzentralität ermittelt die Anzahl kürzester Wege, die durch einen Punkt (als Durchgangspunkt) laufen.

Im Graphen links betrachten wir zum Beispiel die Verbindung zwischen den Punkten 4 und 6, in Zeichen: {4 ; 6}. Es gibt drei kürzeste Verbindungen der Länge 2, nämlich via Punkt 3 oder Punkt 5 oder Punkt 7. Die Punkte 3, 5 und 7 erhalten nun je 1/3 Zwischenwerts-Punkte auf ihr Konto.
Bei der Verbindung {1 ; 2} gibt es nur eine kürzeste Verbindung via 3. Der Punkt 3 erhält auf sein Konto 1 Punkt.

Man analysiert nun das ganze Netz. Im Graphen links mit 7 Knoten sind "7 tief 2", d.h. 21 Paarungen möglich. Für jede Paarung ermittelt man den kürzesten Weg oder die kürzesten Wege und verteilt den Durchgangsstationen ihre Zwischenwerts-Punkte. Die Stationen mit den höchsten Zwischenwerts-Zahlen sind vermutlich die zentralen Figuren des Netzwerks; durch sie laufen auf möglichst kurzem Weg die wichtigen Informationen.
Wenn man in einer mafiösen Struktur diese Personen gezielt verhaftet, zerfällt das Netz am nachhaltigsten. Computersimulationen ermöglichen es zudem, verschiedene Verhaftungsszenarien vorgängig zu simulieren und die Auswirkungen aufs Netzwerk zu betrachten.

Algebraische Zahlen sind Zahlen, welche Nullstellen von ganzzahligen Polynomen sind. Cantor zeigte 1874, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar-unendlich, also von gleicher Unendlichkeitsstufe wie die Menge der Natürlichen Zahlen, ist.

Cantors Überlegung ist in der rechten Spalte dargelegt.

Die algebraischen Zahlen bilden somit eine abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, von denen es überabzählbar-unendlich viele gibt. Die nicht algebraischen Zahlen, die auch transzendente Zahlen genannt werden (z.B. π oder e), sind also keine Exoten, sondern bilden das Gros der reellen Zahlen.

Die bekanntesten algebraischen Zahlen sind die Wurzeln.
Bsp.: √2 und -√2 als Nullstellen von x² - 2.
Die bekanntesten transzendenten Zahlen sind wohl π und e.

Aufgaben:
In der rechten Spalte ist beschrieben, wie Cantor jedem Polynom eine Höhe N zuordnete. Studieren Sie die rechte Spalte vor dem Lösen folgender Aufgaben:

1. Wie viele Polynome mit Höhe N = 4 gibt es, wenn die Koeffizienten
a) natürliche Zahlen
b) ganze Zahlen
sind?

2. Warum definierte Cantor die Zahl N derart kompliziert? Hätte er nicht einfach den Grad n des Polynoms als Höhe N nehmen können oder aber die Summe der Beträge der einzelnen Koeffizienten?

Quelle: Dirk W. Hoffmann: Grenzen der Mathematik, Spektrum, Heidelberg 2011

Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder (CBS) besagt:
Ist eine Menge A gleichmächtig zu einer Teilmenge von B und ist zugleich auch B gleichmächtig zu einer Teilmenge von A, so sind A und B gleichmächtig.

Eine gleichwertige Formulierung:
Sei f eine injektive Abbildung von A in die Menge B und sei g eine injektive Abbildung von B in die Menge A. Dann existiert eine bijektive Abbildung zwischen A und B.

Wir illustrieren den Satz und die Beweis-Idee anhand eines Beispiels (entnommen aus Dirk W. Hoffmann, Grenzen der Mathematik, Spektrum 2011, p.24):

Sei A das abgeschlossene Intervall [-1 ; 1] und sei B das offene Intervall (-1 ; 1).
Wir geben zwei Injektionen f und g an:
Die Abbildung f definieren wir so: f: A → B: f(x) = x ⁄ 2.
Die Injektion g von B nach A liegt auf der Hand: Wir wählen die identische Abbildung, also die Abbildung B → A: g(x) = x.
Beide Abbildungen sind injektiv, aber nicht surjektiv.

Aus f und g konstruieren wir nun eine Eins-zu-eins-Abbildung, also eine Bijektion h von A nach B:

Die Zahl 1 werfen wir mit f auf ½,  -1 auf -½. Damit sind wir innerhalb von B.
½ und -½ dürfen in der Folge nicht mehr Bild weiterer Zahlen sein, da sonst die Injektivität verletzt wäre. Deshalb dürfen wir auf ½ ∈ A nicht g⁻¹(½) = ½ anwenden, sondern müssen ½ mittels f nach ¼ abbilden. So fahren wir fort (unendlich oft), d.h. wir unterziehen alle Zahlen aus A, welche die Form 2^-n haben der Abbildung f.
Alle übrigen Zahlen (die also nie Bild von f werden) unterwerfen wir der Identitätsabbildung g⁻¹(x) = x.
Diese Kombination aus f und g⁻¹ = g ist unsere Bijektion h, denn sowohl f wie g⁻¹ lassen sich umkehren und A wird vollständig auf B (und umgekehrt) abgebildet.

Zusammengefasst:
h(x) = f(x) für alle Stammbrüche x mit Zweierpotenz-Nenner
h(x) = x für alle übrigen x.

Resultat: Das geschlossene Intervall [-1 ; 1] lässt sich ein-eindeutig auf das offene Intervall (-1 ; 1) abbilden (und umgekehrt).

Ein weiteres Beispiel
Wir versuchen, die positiven reellen Zahlen (Menge A) auf das Intervall [0 ; 1] (Menge B) bijektiv abzubilden.
Wir suchen eine injektive Abbildung f von ℝ⁺ nach [0 ; 1] und eine injektive Abbildung g von [0 ; 1] nach ℝ⁺. Für g bietet sich natürlich wieder die identische Abbildung g(x) = x an, was die Überlegungen stark vereinfacht.

Für die Wahl von f inspiriert uns das reissverschlussartige Mischen von Spielkarten:
Bildquelle: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=752624
Bild: Zwei Haufen werden im Reissverschlussverfahren zu einem einzigen Haufen vermischt.

Wir erläutern f an einem Beispiel. Die zwei "Kartenhaufen" sind die Vorkommastellen und die Nachkommastellen, die wir reissverschlussartig zusammenmischen:

In 83.217 (oder 083.217) mischen wir die Ziffern wie folgt:
Zuerst schreiben wir generell: 0. ... Damit landen wir immer in B = [0 ; 1].
Dann folgt die Einerziffer: 0.3
Dann folgt die Zehntelziffer: 0.32, dann die Hunderterziffer: 0.328, dann die Hundertstelziffer: 0.3281. Dann folgt 0.32810 und schliesslich 0.328107.
Somit ist f(83.217) = 0.328107.  f(x) liegt per Konstruktion immer in B = [0 ; 1].

Wir bilden also nach 0. ... einen Reissverschluss beginnend mit den Einern:

Sei U die Menge der Zahlen aus B = [0 ; 1], die nie Bild von f sein können. Dann konstruieren wir wie im ersten Beispiel die Bijektion h wie folgt:

h(x) = f(x) für alle x nicht aus U (das sind insbesondere auch alle Zahlen ≥ 1)
h(x) = x für alle x aus U

Die Zahlen 24 und 21 haben folgende Eigenschaft:

Es gilt 24⋅21=42⋅12, d.h. vertauscht man bei den Zahlen der linken Seite der Gleichung die Ziffern (aus 24 wird 42, aus 21 wird 12), so entsteht die rechte Seite einer korrekten Gleichung, d.h. das Produkt bleibt beim Spiegeln gleich.

Wie viele verschiedene solche „Spiegelzahlengleichungen“ gibt es?

(Die Spiegelzahlengleichungen 24⋅21=42⋅12, 21⋅24=12⋅42, 42⋅12=24⋅21 und 12⋅42=21⋅24 wollen wir selbstverständlich als eine einzige Gleichung zählen.)

24⋅21 = 42⋅12

Aufgabe aus "Zahlendreher", Tages Anzeiger Woche 6 / 2021.

(P.S. Wenn man am Schluss noch zusätzlich auf der rechten Seite der Gleichung die Faktoren tauscht, entsteht eine Palindrom-Gleichung: 24⋅21 = 12⋅42.

Ein Problem aus Béla Balobás: The Art of Mathematics - Coffee Time in Memphis, Cambridge University Press 2007, p.49:

Zeige, dass unter n+1 natürlichen Zahlen, von denen keine grösser als 2n ist, stets zwei so zu finden sind, dass die eine Teiler der andern ist.

Dieses Problem stammt ebenfalls aus dem Buch von Béla Balobás (s.Nr. 50).

Man hat zwei gewichtete ("ungerechte") Spielwürfel (Augenzahlen 1 bis 6), bei denen die Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Augenzahl nicht für alle Augenzahlen notwendig gleich sind.
Am besten stellt man sich einen Computer"würfel" vor, bei dem man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten programmieren kann.
Kann man die einzelnen Augenzahl-Wahrscheinlichkeiten so programmieren, dass das Merkmal "Summe der Augenzahlen beider Würfel" für jede der elf möglichen Summen von 2 bis 12 dieselbe Auftretens-Wahrscheinlichkeit besitzt (was bei normalen Spielwürfeln ja nicht der Fall ist *)?

*): Bei zwei normalen Spielwürfeln ist ja z.B. das Auftreten von Augensumme 7 deutlich wahrscheinlicher als dasjenige von Augensumme 2 oder Augensumme 12. Bei unseren "gefälschten" Würfeln sollen alle Augensummen gleich wahrscheinlich sein.)

Dass die IMO-Aufgaben in den Anfängen noch deutlich einfacher waren als heute, zeigt auch diese Aufgabe:

Man finde die kleinste natürliche Zahl mit folgenden Merkmalen:
1) Ihre Endziffer ist eine 6.
2) Versetzt man diese Endziffer an den Anfang der Zahl, so entsteht das Vierfache der ursprünglichen Zahl.

Wie lautet die ursprüngliche Zahl?

Diese Aufgabe stammt leicht abgewandelt ebenfalls aus "Zahlendreher", Tagesanzeiger, Woche 9/2021:

Man betrachte die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis n:
M = {1, 2, ... , n}.

Gesucht ist eine Zerlegung von M in M = F∪S, F∩S=∅, sodass das Produkt aller Elemente von F ("Faktoren") gleich der Summe aller Elemente von S ("Summanden") ist.

Beispiel: M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, F = {1, 3, 6}, S = {2, 4, 5, 7}. 1⋅3⋅6 = 2+4+5+7 = 18.

Man zeige, dass eine solche Aufteilung für alle n ≥ 5 möglich ist und gebe ein Verfahren an.

Tipp:

a) Man untersucht am besten zunächst ungerade n.

b) Anschliessend kann der Fall gerader n untersucht werden.
    (Man vergleiche etwa n = 7 mit n = 6).

An einem Mathematik-Wettbewerb waren drei Aufgaben, A, B und C, zu lösen. Folgendes ist gegeben:

(1): 25 Personen lösten mindestens eine der Aufgaben.

(2): Unter denjenigen, die A nicht gelöst hatten, lösten doppelt so viele B wie C.

(3): Die Zahl derjenigen, die nur A lösten, war 1 mehr als die Zahl derjenigen, die A und mindestens ein weiteres Problem lösten.

(4): Unter denjenigen, die nur ein einziges Problem gelöst hatten, hatte die Hälfte A nicht gelöst.

Wie viele Personen hatten nur Problem B gelöst?

(Eine eher einfache IMO-Aufgabe.)

Tipp: Venn-Diagramm und Farbstifte...

Für welche natürlichen Zahlen x ist das Produkt der Dezimalziffern von x gleich

x² - 10x - 22 ?

a) Man zeige, dass n⁴ + 4 für alle n ∈ ℕ keine Primzahl ist.

b) Gibt es neben der Zahl 4 weitere Zahlen a ∈ ℕ so, dass n⁴ + a für alle n ∈ ℕ keine Primzahl ist?

Seien m < n < p natürliche Zahlen, wobei p eine Primzahl ist.

Weiter sei p ein Teiler sowohl von m² + 1 als auch von n² + 1.

Man zeige, dass p dann auch ein Teiler von mn - 1 ist.

Sei n ∈ ℕ. Wir betrachten {1, 2, ... , n}. Wir bilden davon alle 2ⁿ - 1 nicht-leeren Teilmengen.

Zu jeder Teilmenge bilden wir das Produkt ihrer Elemente.

Nun bilden wir von jedem dieser Produkte den Kehrwert und addieren zum Schluss alle diese Kehrwerte.

Welche Summe werden wir erhalten?

Beispiel n = 3: {1, 2, 3}.

Teilmengen:

{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}.
Elementprodukte: 1, 2, 3, 2, 3, 6, 6.
Kehrwertsummen: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/2 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 3.

Tipp: Vermutung aufstellen und durch vollständige Induktion beweisen.

Die Zahl 75 hat folgende Eigenschaft:
Die dritte Potenz, 75³, ist das Produkt aller positiver Teiler von 75 also gleich 1⋅3⋅5⋅15⋅25⋅75.

Welche natürlichen Zahlen n >1 haben ebenfalls diese Eigenschaft? (Die triviale Lösung n = 1 sei hier nicht beachtet.)

Sei p eine Primzahl grösser als 3.

a) Man zeige, dass p² + 11 durch 12 teilbar ist.

b) Man zeige, dass p² + 11 mehr als 6 Teiler hat. Warum ist p > 3 gefordert?

Teilaufgabe b) stammt aus der IMO-Longlist 1964. Teilaufgabe a) ist eine Lösungshilfe dazu.

a) Zeige: Für alle reellen Zahlen a > 0 gilt:   a + 1/a ≥ 2.

b) Man hat n positive reelle Zahlen a_i mit a₁⋅ ... ⋅ a_n = 1.

    Behauptung: (1 + a₁)⋅ ... ⋅(1 + a_n) ≥ 2ⁿ.

    Man zeige dies für n = 1, 2 und 3.
    Dies liefert eine allgemeine Idee zu einem möglichen Beweis für beliebige n ∈ ℕ.

Wir spielen ein Spiel mit lediglich zwei Buchstaben, a und b. Zudem sei 1 das Neutralelement, das einfach weggelassen werden kann: 1a = a, a1b = ab, usw.
Mit a und b bilden wir "Wörter", z.B. a, b, aa, aba, usw.
Es ist in der Regel ab ≠ ba, wir können also nicht einfach Buchstaben vertauschen.
Zudem sollen folgende Vereinfachungsregeln gelten:
aaa = 1
bbbb = 1
abab = 1.

Es gelte das Assoziativgesetz.

Aufgabe:

Man vereinfache abbaaaabba möglichst stark.

Hinweis:
Das Buchstabenspiel erzeugt eine Gruppe.
Eine Gruppe ist eine Menge G von Elementen versehen mit einer Operation ο von G×G nach G und folgenden Axiomen:
(G1): ο ist assoziativ, d.h. (a ο b) ο c = a ο (b ο c).
(G2): Es existiert ein Neutralelement 1 mit a ο 1 = 1 ο a = a.
(G3): Zu jedem Element a existiert ein Inverses a^-1∈ G mit a ο a^-1 = a^-1 ο a = 1. (Siehe auch Bemerkung unten.)

Bemerkung:
Man kann zeigen, dass ein Rechtsinverses zu einem Element auch linksinvers ist; die Formulierung in G3 ist also redundant.
Wir lassen im Folgenden das Operationszeichen ο weg:
Sei y das Rechtsinverse von x, d.h. x y = 1.
Sei z das Rechtsinverse von y, d.h. y z = 1.
Behauptung: y ist auch Linksinverses von x, d.h. y x = 1.
Beweis:
y x = y x 1 = y x (y z) = y (x y) z = y 1 z = y z = 1.

Diese euklidsche Beweisidee kann auch auf folgende Aufgabe angewendet werden:

Aufgabe
Man zeige, dass in der Folge der Zahlen der Form 3n - 1, also der Folge 2, 5, 8, 11, 14, ... , unendlich viele Primzahlen stecken.

Hilfsaufgaben dazu:
h1) Man zeige, dass das Produkt zweier Zahlen der Folge der Zahlen vom Typ 3n + 1 ebenfalls wieder von diesem Typ ist.

h2) Man zeige, dass in der Folge der Zahlen vom Typ 3n - 1 folgendes gilt: Wenn eine Zahl daraus in Primfaktoren zerlegt werden kann, so ist mindestens einer dieser Faktoren ebenfalls vom Typ 3k - 1.

Aus h2) folgt dann mithilfe der euklidschen Beweis-Idee die Behauptung der Aufgabe.

Aus einem alten chinesischen Rechenbuch, leicht abgewandelt:

Ein Eierverkäufer hatte auf dem Markt einen Korb mit Eiern (weniger als 150 Stück).
Eine Reiterin stiess unvorsichtigerweise den ganzen Korb um, wodurch alle Eier zerbrachen.
Sie wollte den Schaden vollumfänglich bezahlen und fragte, wie viele Eier im Korb waren.
Der Verkäufer wusste es nicht.

Er wusste aufgrund seiner morgendlichen Eier-Meditation nur folgendes:

Als er sie zu Paaren gruppierte, war am Schluss noch eines übrig.
Als er sie zu Dreiergruppen arrangierte, waren am Schluss zwei übrig.
Also gruppierte er sie in Fünfergruppen. Da blieben vier übrig.
Als er sie in Siebnergruppen aufteilte, ging die Sache genau auf.

"Ah, nun weiss ich, wie viele Eier ich bezahlen muss", meinte die Reiterin und bezahlte den Schaden.

Wie viele Eier befanden sich im Korb?

Diese Aufgabe stammt aus folgender Quelle:
Janko Böhm, Mathematik für Informatiker
Skript TU Kaiserslautern

Die Aufgabe schliesst an die Theorie zum Chinesischen Restsatz (s. Nr. 69) an.

Frage:

Lässt sich die linke Zahnradkonfiguration in die rechte überführen oder nicht?

Der kleine Satz von Fermat lautet:
Ist p eine Primzahl, so ist a^p-1 ≡ 1 (mod p) für alle 0 < a < p.

In Worten:
Ist p eine Primzahl, so ergibt a^p-1 bei Division durch p den Rest 1 für alle 0 < a < p.

Daraus lässt sich eine "Nichtprimzahl-Probe" ableiten: Ist für eine natürliche Zahl x die Zahl a^x-1 für irgend ein natürliches a (mit 0 < a < x) nicht ≡ 1 (mod x), so kann x keine Primzahl sein.

Leider gilt die Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat nicht. Es gibt Nichtprimzahlen n, für die jedes zu n teilerfremde r der Gleichung r^n-1 ≡ 1 (mod n) genügt. Die kleinste solche Zahl ist
561 = 3⋅11⋅17 (s. Carmichael-Zahlen).

Beispiel:

Ist 731 prim? Wir prüfen mit a = 2:
2^731-1 ≡ x (mod 731), d.h. 2⁷³⁰ ≡ x (mod 731). Wir suchen das minimale x ∈ ℕ.
Ist x = 1, so wissen wir nicht viel mehr; ergibt sich 1<x<731, ist 731 nach Fermat keine Primzahl.

Frage:

2⁷³⁰ sprengt die Kapazität normaler Taschenrechner.
Lässt sich 2⁷³⁰ ≡ x (mod 731) trotzdem mithilfe eines gewöhnlichen Taschenrechners bestimmen (minimales x ∈ ℕ)?

Eine natürliche Zahl n heisst vollkommen, wenn die Summe ihrer echten Teiler (das sind die Teiler ohne n selber) gleich n ist.



Beispiele:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Man zeige:

a) Die Summe der Kehrwerte aller Teiler einer vollkommenen Zahl n ist gleich 2.

b) Euklid: Ist die Summe 1 + 2 + ... + 2^k, k ≥ 1, eine Primzahl p, so ist 2^k⋅p eine gerade vollkommene Zahl.

Bemerkung: Es ist 1 + 2 + ... + 2^k = 2^k+1- 1. Es entsteht die Folge

(6, 28, 496, 8128, 33'550'336, 8'589'869'056, 137'438'691'328, ...).

Herstellung obiger Folge: Starte mit k = 1. Prüfe, ob 2^k+1- 1 prim ist. Wenn nein, erhöhe k um 1. Wenn ja, bilde 2^k⋅(2^k+1- 1) und drucke diese Zahl aus. Erhöhe dann k um 1 und prüfe erneut, ob 2^k+1- 1 prim ist, usw.

c) Euler: Die unter b) angegebenen Zahlen sind die einzigen geraden vollkommenen Zahlen.
Dies ist die Umkehrung von b).

Das heisst:

Bemerkung: Ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist bis heute ungeklärt.

John Neper (1550 - 1617) gilt zusammen mit dem Schweizer Jost Bürgi als "Erfinder" der Logarithmen. Diese ermöglichen es, Multiplikationen auf Additionen und Divisionen auf Subtraktionen zurückzuführen, was damals für Rechnungen ohne Computer eine riesige Erleichterung war.
Aber auch heute noch werden etwa bei der Berechnung von Computertomogrammen die hunderttausende von multiplikativen Gleichungen mithilfe der Logarithmen in additive Gleichungen umgewandelt und so erst in nützlicher Zeit vom Computer berechenbar. Ohne Logarithmen also keine moderne Medizin!

Die folgende kleine Aufgabe ist eine, allerdings ziemlich freie (!), Abwandlung von Nepers Konstruktion, die er in seinem Werk „Mirifici logarithmorum canonis descriptio“ (1614) beschreibt.

Wir betrachten die reelle Zahlengerade (x-Achse).

Vom Punkt x = 1 aus bewegt sich ein Punkt P nach links Richtung Nullpunkt und zwar so, dass der Betrag seiner Geschwindigkeit stets gleich dem Abstand von P zum Nullpunkt ist; der Punkt wird also immer langsamer, d.h. seine Geschwindigkeit am Ort x_P ist gleich -x_P. P erreicht den Nullpunkt nie.

Gleichzeitig mit P startet von x = 0 aus ein Punkt Q seine Fahrt nach links mit konstanter Geschwindigkeit v_Q = -1.

Bild: Positionen von P und Q nach einer gewissen Zeit t (Bild nicht massstäblich gezeichnet)

Aufgabe:

Man gebe x_Q als Funktion von x_P an.

In Anlehnung an die altägyptische Bruchrechnung, in der ein Bruch als Summe von Stammbrüchen dargestellt wurde, entstand folgende Aufgabe.

Es ist z.B. 4/15 = 1/5 + 1/15 eine Summe zweier verschiedener Stammbrüche.

Aufgabe:

a) Man stelle 7/13 als Summe zweier verschiedener Stammbrüche dar.

b) Man zeige, dass 5/13 sich nicht als Summe zweier verschiedener Stammbrüche darstellen lässt.

c)

Man gebe mindestens einen weiteren gekürzten Bruch an, der sich nicht als Summe zweier verschiedener Stammbrüche darstellen lässt.

d)

Sei a = 2 und b = 2k+1 = ungerade Zahl (der Bruch 2/b soll ja gekürzt sein). k ≥ 1.

Man zeige: Dann ist eine Darstellung als Summe zweier verschiedener Stammbrüche möglich.

Beispiel: 2/13 = ? + ?

Aufgabe 1

Aus Peter Gallin: 51 weitere Mathematik-Aufgaben, Orell Füssli 2005, Aufg. 117, p. 31:



Zeige:
Wenn die Koeffizienten a, b und c der Gleichung ax² + bx + c = 0 alle ungerade Zahlen sind, dann kann die Gleichung keine rationalen Lösungen haben.

Aufgabe 2

Wenn die Gleichung x² - bx + c = 0 ganzzahlige Lösungen hat und b und c beide gerade sind, dann ist c sogar durch 4 teilbar.

Allgemeiner:
Wenn die Gleichung x² - bx + c = 0 ganzzahlige Lösungen hat und b und c beide durch die Primzahl p teilbar sind, dann ist c sogar durch p² teilbar.

Anders herum formuliert:
Wenn in der Gleichung x² - bx + c = 0 die Parameter b und c durch die Primzahl p teilbar sind, c jedoch nicht durch p² teilbar ist, kann die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen haben.

Seien a, b, c natürliche Zahlen mit folgender Eigenschaft:

a ist Teiler von b², b ist Teiler von c² und c ist Teiler von a².

Man zeige: a⁷ + b⁷ + c⁷ ist teilbar durch abc.

Wir betrachten endliche Folgen ganzer Zahlen a₀ , ... , a_n mit folgender Eigenschaft E:

Es sei für alle 1 ≤ k ≤ n der Wert | a_k - a_k-1 | = k².

Sei eine beliebige Ausgangszahl b und eine beliebige Endzahl c (beides ganze Zahlen) gegeben.

Man zeige, dass es zu diesen Zahlen stets eine endliche Folge mit Eigenschaft E gibt, die mit
a₀ = b startet und mit a_n = c endet.

Man gebe z.B. eine möglichst kurze Folge mit Eigenschaft E an, die bei 0 startet und bei 2021 endet.

a) Zeige: Für ungerade natürliche Zahlen n ist n stets Teiler von
1ⁿ + 2ⁿ + ... + (n-1)ⁿ.

Tipp: Man zeige, dass für n ungerade kⁿ und (n - k)ⁿ modulo n entgegengesetzt gleich sind.

Beispiel n = 7:   3⁷ ≡ 3 modulo 7; (7-3)⁷ = 4⁷ ≡ 4 ≡ -3 modulo 7.
Es folgt 3⁷ + 4⁷ ≡ 0 mod 7, d.h. 7 teilt 3⁷ + 4⁷.

b) Zeige: Für gerade Zahlen der Form n = 2u, u ungerade, ist n nie Teiler von 1ⁿ + 2ⁿ + ... + (n-1)ⁿ.
    Tipp: Paritätsargument ("gerade / ungerade") anwenden.

c) Schwieriger zu zeigen ist: Eine gerade natürliche Zahl n ist nie Teiler von
    1ⁿ + 2ⁿ + ... + (n-1)ⁿ.
    (Teil b ist dann natürlich im Beweis von Teil c enthalten; aber Teil b ist für sich genommen
      eine reizvolle Aufgabe, weil deren Lösung keinerlei Spezialwissen erfordert.).
    Nützlich für Teilaufgabe c ist der Satz von Euler über Kongruenzen.

Eine Aufgabe aus dem Putnam-Exam 1956:

Man hat drei Zeichen: 0, 1 und 2. Daraus werden "Wörter" der Länge n gebildet, wobei die Ziffern 0 und 2 nie benachbart sein dürfen.

Wie viele Wörter der Länge n sind so möglich? Man entwickle die Folge dieser Anzahlen für n= 1, 2, 3, usw. und finde eine rekursive Formel.

Ausgangspunkt dieser Aufgabe ist die Folge (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).
Daraus bildet man zwei beliebig permutierte Folgen (a_n) und (b_n).
Nun bildet man die elementweise multiplizierte Folge (a_i⋅b_i).
Anschliessend reduziert man die Folge (a_i⋅b_i) auf ihre Elferreste (Reste modulo 11).

Behauptung: Mindestens zwei dieser Elferreste sind gleich.

Im Beispiel oben kommen die Elferreste 3, 4 und 7 doppelt vor, dafür fehlen die Elferreste 2, 9 und 10.

Tipp:

Man arbeite mit
a₁⋅...⋅a₁₀,
b₁⋅...⋅b₁₀,
a₁b₁⋅ ... ⋅a₁₀b₁₀

und studiere die Elferreste dieser Zahlen.

Was in Aufgabe 83 mit der Primzahl p = 11 gezeigt wurde, kann auf beliebige Primzahlen p verallgemeinert werden:

Man hat zwei Permutationen von (1, 2, ... , p-1) und bildet erneut die Produktfolge wie oben.

Dann reduziert man diese Produktfolge auf die Reste modulo p.

Man zeige:

Es genügt, zu zeigen: (p - 2)! ≡ 1 (mod p).

Wie lässt sich dies zeigen?

Bemerkung

(p - 2)! ≡ 1 (mod p) bedeutet für Primzahlen p ≥ 5 auch:

Beispiel: p = 13. 13 teilt 11! - 1 = 13⋅17⋅23⋅7853.

(p - 1)! ≡  -1 (mod p) bedeutet für die Primzahl p:

Beispiel: p = 13: 13 teilt 12! + 1 = 13²⋅2'834'329.

Eine Aufgabe aus dem Jahr 2000:

Man bestimme die Quersumme der Quersumme der Quersumme von 2000²⁰⁰⁰.

Diese einfache Aufgabe ist wohl in wenigen Augenblicken gelöst:

Man zerlege die Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} so in zwei disjunkte Teilmengen A und B, dass folgendes gilt:
Sei a das Produkt der Elemente von A und b das Produkt der Elemente von B.
a/b soll eine möglichst kleine natürliche Zahl n sein. Welches ist das minimale n?

Die Zahl 2 hat folgende Eigenschaft: Sie besitzt 2 Teiler. Die dritte Potenz dieser Anzahl Teiler ist gleich dem Vierfachen der Zahl.
Welche andern natürlichen Zahlen haben ebenfalls diese Eigenschaft? Mit andern Worten:
Ist d_n die Anzahl positiver Teiler von n, so soll d_n³ = 4n sein.

Diese Aufgabe aus einer Mathematik-Olympiade ist nicht einfach.
Wir unterteilen sie deshalb in einige Unteraufgaben.

Wir geben noch die Formel für die Anzahl Teiler der natürlichen Zahl n an:

Sei n = p₁^k1⋅p₂^k2⋅ ... (Primfaktorzerlegung; p₁ < p₂ < ... )

Dann ist

a)

d_n³ = 4n besagt, dass 4n eine Kubikzahl ist. Was bedeutet dies für den kleinsten Primfaktor von n?

Was bedeutet es für die übrigen Primfaktoren?

b)

Ist n durch 3 teilbar oder nicht?

c)

Welche Primfaktoren können in n nicht mehr vorkommen?

IMO-Selektion 1998, Aufgabe 4:

Man bestimme alle Zahlen n, für die gilt:

Es gibt eine Möglichkeit, ein Quadrat in n Teilquadrate zu zerschneiden.

Abb. rechts: Mrs. Perkins' Quilt: 11 Teilquadrate

Man zeige, dass das Produkt von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen (≠ 0) nie eine Quadratzahl sein kann.

Einfachere Alternativaufgabe:
Man zeige, dass das Produkt von 3 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen nie eine Quadratzahl sein kann.

Tipp: P:= (x-2)⋅(x-1)⋅x⋅(x+1)⋅(x+2).

Ein Kunst-Objekt besteht aus dünnen Stangen (blau markiert im Bild rechts), die in quadratischer Gitterstruktur angeordnet sind. Die Anzahl u der Stangen pro Zeile und Spalte sei ungerade (Beispiel rechts: u = 5).

Nun sollen Stangen entfernt werden und zwar so, dass man, an jeder entstandenen Leerstelle stehend, keine direkte Sicht auf eine andere Leerstelle hat (siehe unterbrochene rote Sichtlinie im Beispiel rechts).

Wie viele Stangen kann man maximal entfernen, d.h. wie viele Leerstellen kann man maximal schaffen?

(Die Stangen sind als unendlich dünn anzusehen.)

Dieses Figuren-Erzeugungs-"Spiel" stammt von Paul Lorenzen. Wir erzeugen Figuren mit Einsen und Nullen nach folgenden drei Axiomen:

A1: 1 ist eine erlaubte Figur.
A2: Ist A eine erlaubte Figur, so auch A0.
A3: Ist A eine erlaubte Figur, so auch 1A1.

Aufgaben:

1. Ist 11001 erlaubt?

2. Ist 011 erlaubt?

3. Kann aus einer erlaubten Figur A mittels der Axiome auch 11A gebildet werden?

Aus dem Ziffernvorrat {1,2,3,4,5,6,7,8,9} muss jede Ziffer genau einmal verwendet werden.
Wir bilden mit diesen neun Ziffern ein- oder zweistellige Zahlen und addieren sie.

Beispiel: 18 + 25 + 34 + 6 + 7 + 9 = 99 = s.

Eine Reihe von Fragen hierzu bietet sich an:

1. Welches ist die kleinste, welches die grösste so erzeugbare Summe s?

2. Welche Eigenschaft haben alle diese Summen s gemeinsam?

3. Kann jede Zahl s innerhalb des von (1) abgesteckten Bereichs mit Eigenschaft (2) als eine solche Summe erzeugt werden?

4. Auf wie viele Arten kann die Summe 99 erzeugt werden?
(Summen, bei denen lediglich die Summanden kommutativ vertauscht sind, gelten als gleich.)

5. Gilt Eigenschaft (2) auch, wenn mehr als zweistellige Zahlen zugelassen sind, aber nach wie vor jede Ziffer von 1 bis 9 genau einmal vorkommt?

6. Welches ist die höchste erreichbare Summe s, wenn neben ein- und zweistelligen auch dreistellige Zahlen zugelassen sind?

Quelle: Zahlendreher Tages Anzeiger, 5.7.2022

Fibonacci-Folge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Lassen sich die ersten 2022 Fibonacci-Zahlen wie folgt in zwei Gruppen aufteilen:

Jede Gruppe hat gleich viele (also 1011) Zahlen UND jede Gruppe hat gleiche Zahlensumme?

Nimm ein Kartenspiel mit 21 Karten: {1, 2, ..., 21}.
Jemand merkt sich eine Karte aus diesem Spiel (Karte Nr. x).
Nun legst du die Karten offen abwechslungsweise auf drei Stapel ab.
Das sieht dann so aus (Karten von unten nach oben gelegt):

19        20        21
16        17        18
13        14        15
10        11        12
  7          8          9
  4          5          6
  1          2          3

(Auf Stapel 1 liegt zuunterst Karte 1, zuoberst Karte 19; auf Stapel 2 liegt z.B. Karte 8 an 5. Stelle von oben; auf Stapel 3 liegt z.B. Karte Nr. 6 an 6. Stelle von oben, usw.)

Du fragst, in welchem Stapel sich die gemerkte Karte befindet. Diesen Stapel nimmst du ins „Sandwich“ der beiden andern Stapel.

Beispiel: Jemand hat sich Karte Nr. 6 gemerkt (links rot markiert).

Die neue Anordnung sieht nun so aus:

{* * * * * * * // * * * * * 6 * // * * * * * * *} (Karte Nr. 6 auf Rang 13).
Dies wieder auf drei Stapel verteilt (von unten nach oben):

*          *          *
*          *          *
6          *          *
*          *          *
*          *          *
*          *          *
*          *          *

Karte 6 befindet sich nun in Stapel 1 an 3. Stelle von oben.

Du fragst wieder, in welchem Stapel sich die gesuchte Karte befindet und nimmst diesen Stapel erneut ins Sandwich. Das Ganze wiederholst du ein drittes Mal.

Am Schluss wird sich die gesuchte Karte stets an 11. Stelle befinden.

Mathematische Aufgabe:
Finde eine Erklärung dafür.

Varianten zu obigem Trick

Man nimmt diesmal 27 Karten. Das Gesamtpaket wird hier stets verdeckt (Rückseite oben) gehalten, die drei Stapel werden offen hingelegt (siehe Nummern im folgenden Bild).

Die Person, die sich eine Karte gemerkt hat, sagt, in welchem Stapel (S1, S2 oder S3) sich die gemerkte Karte befindet. Dann werden die drei Stapel wieder umgedreht (Rückseite oben; siehe Abb. unten).

Jetzt wird wieder das Gesamtpaket hergestellt. Dabei sind die rechts beschriebenen Varianten denkbar.

Varianten:

1. Man nimmt den gezeigten Stapel wie oben wieder ins Sandwich und wiederholt das Prozedere insgesamt drei Mal.
An welcher Stelle im verdeckten Gesamtpaket wird sich am Schluss die gemerkte Karte befinden?

2. Man kann den Stapel mit der gemerkten Karte (Rückseiten oben) statt immer ins Sandwich auch nach oben oder ins Sandwich (Mitte) oder nach unten nehmen und dies bei jeder der drei Wiederholungen anders handhaben.

2.1. Auf diese Weise kann man die gemerkte Karte an jeden beliebigen Rang im verdeckten Schlusspaket bringen (Rang 1 bis 27).

Wie muss man z.B. vorgehen, damit die Karte am Schluss auf Rang 6 landet?

Es gibt hier einen Zusammenhang mit dem Dreiersystem.

2.2. Man kann auch die zuschauende Person ganz am Anfang bestimmen lassen, auf welchem Schlussrang die gemerkte Karte sein soll (vor Beginn des Tricks soll die zuschauende Person eine Zahl zwischen 1 und 27 nennen oder notieren).

2.3. Man kann die zuschauende Person die drei Stapel aufeinanderlegen lassen und merkt sich jedes Mal, ob der Stapel mit der gemerkten Karte nach oben, in die Mitte oder nach unten gelegt wird. Am Schluss kennt man den Rang der gemerkten Karte.

2.4. Man kann die gemerkte Karte auf Rang 27 bringen und dann "künstlich mischen", d.h. so mischen, dass die unterste Karte stets unten bleibt.

2.5. Man kann die gemerkte Karte auf Rang 1 bringen und sie so beim Aufwerfen des Kartenspiels in der Hand behalten, usw.

Dieser Trick ist beschrieben in: Martin Gardner, Mathematik und Magie, Dumont-Taschenbuch, Köln, 1981, p.50 ff.

Bleiben wir beim Ablegen von Karten wie oben beschrieben. In seinem Buch "Mathematik und Zaubern" (Springer Wiesebaden 2017) untersucht Ehrhard Behrends das Ablegen von Karten auf mehrere Teilstapel mathematisch genauer. Seine Ausführungen richten sich an ein mathematisch vorgebildetes Publikum. Wir bleiben elementarer.

Im Trick oben (beschrieben von Martin Gardner) wird ein Kartenstapel horizontal auf drei Teilstapel verteilt (s. Fotos oben). Diese Teilstapel werden dann wieder zu einem Gesamtstapel geschichtet.

Wir nehmen ein Elferraus-Spiel mit 9 Karten einer Farbe und den Nummern 1 bis 9.
Man spielt am wirkungsvollsten mit der Kartenrückseite nach oben.

  => zuoberst: 1

Wir bilden zunächst zwei Teilstapel: Karte 1 links, Karte 2 rechts, usw.
Dann nehmen wir den Stapel rechts aussen in die Hand und legen den linken Nachbarstapel drauf.
Nun kann noch beliebig oft abgehoben werden.
Erneut bilden wir wie oben zwei Teilstapel und vereinen diese wieder, indem wir auf den rechten Teilstapel den linken legen. Erneutes Abheben erlaubt.
Ein Blick in die Karten zeigt nun eine auf den ersten Blick recht chaotische Anordnung.
Die Prozedur wird noch ein drittes Mal durchgeführt. Erneutes Abheben möglich.

Nach dem dritten Mal werden die Karten offen der Reihe nach hingelegt und, o Wunder, sie liegen wieder in der richtigen Abfolge da!

Bemerkung: Da die Karten zyklisch verschoben sein können, kann die Zauberin heimlich einen Blick auf die unterste Karte werfen und so viele Karten von ganz unten nach ganz oben bringen, bis oben die 1 liegt.

Hierzu einige Fragen zum Erforschen:

• Warum funktioniert dieses Vorgehen?
  
  
• Man kann, statt den linken auf den rechten Stapel zu legen, auch die Zuschauerin entscheiden lassen, ob der linke auf den rechten oder der rechte auf den linken Stapel kommt. Warum funktioniert die Sache immer noch?
  
  
• Wir verfolgen eine feste Karte in ihrer Rangordnungszahl. Wie verändert sich die Rangordnung x einer Karte nach einem Durchgang (wenn auf den rechten Stapel der linke kommt, d.h. wenn man von rechts nach links aufstapelt)? Man bestimme eine Funktion, die dem alten Rang x den neuen Rang y zuordnet. Man rechne modulo 9 (mit Ausnahme von Rang 9, den wir nicht 0 setzen).
  
  
• Wir nehmen 13 Karten und legen sie in 4 Teilstapel aus. Wie lautet jetzt die Rangfunktion, die nach einem Schritt vom alten Rang zum neuen führt (Teilstapel immer noch von rechts nach links aufstapeln: R-Variante)?
  
  
• Warum funktioniert die Sache nicht bei 13 Karten und 5 Teilstapeln?
  
  
• Wer will, kann noch den Fall untersuchen bei dem man die Teilstapel von links nach rechts aufstapelt (immer den nächst rechts liegenden Teilstapel obenauf legen: L-Variante). Bsp. 9 Karten und 5 Teilstapel.

Im oben erwähnten Buch von Ehrhard Behrends und in diesem PDF wird ein Zahlenmagie-Trick beschrieben, der auf folgender Grundlage beruht:
Eine kopfstehende Pyramide der Höhe n = 10 wird in der obersten Zeile mit Zahlen der Restklasse 3, also mit Zahlen 0, 1 oder 2 beliebig gefüllt.
Die nächst untere Zeile wird so gefüllt, dass in ein Feld die Summe der beiden darüberliegenden Felder modulo 3 eingesetzt wird.
Liegen also etwa über einem Feld die beiden Felder mit 2 und 1, wird 2 + 1 = 0 (modulo3) eingesetzt.
Interessanterweise kann der Wert im untersten Feld, also in der Spitze der kopfstehenden Pyramide, sofort aus den Randwerten der obersten Zeile ermittelt werden, nämlich als Modulo-3-Summe dieser Randwerte.

1. Man suche eine Pyramide mit Höhe n < 10, bei der dies auch möglich ist.

2. Aus diesem Resultat finde man weitere n, für welche dies möglich ist; insbesondere zeige man, dass für n = 10 die Sache klappt.

Den zugehörigen magischen Zaubertrick mit Karten in drei Farben findet man im Buch "Mathematik und Zaubern" (Springer Wiesebaden 2017) von Ehrhard Behrends inklusive umfangreiche mathematische Abhandlung dazu und ebenfalls in diesem PDF.
Für den magischen Trick wird ebenfalls modulo 3 gearbeitet, jedoch nicht mit der Summe der darüber liegenden Felder, sondern mit der Summe der modulo 3 negativen Werte der darüber liegenden Felder - oder gleichwertig mit dem Negativwert (modulo 3) der Summe der darüber liegenden Felder.

Interessant ist hier, dass ein magischer Zahlentrick anschauliche Beweisschritte liefert, um einen Satz über Binomialkoeffizienten modulo einer Primzahl zu beweisen: siehe Lösungshinweise.

Die Aufgabe stammt aus der IMO-Longlist 1966 und lautet:

Welches sind die letzten beiden Ziffern der Summe der 8. Potenzen von 100 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen?

Aus der IMO-Longlist 1967:

Man hat m + n Zahlen a_i (i = 1, ..., n) und b_j (j = 1, ... , m). Bestimme die Anzahl Paare (a_i , b_j) mit | i - j | ≤ a, wo a eine natürliche Zahl ist.

Man kann diese Aufgabe auch so formulieren:

Man hat einen ganzzahligen m x n - Punktraster; Punkteabstand 1;
Punkte von P(1 ,1) bis P(m , n); siehe Abbildungen rechts.

Gegeben ist eine natürliche Zahl a. Für jeden Punkt P(i , j) bilden wir | i - j |.

Für wieviele Punkte ist | i - j | ≥ a?

Man bestimme eine Formel für diese Zahl N.

m = 6, n = 7, a = 3 => N = 16

Zusatzaufgabe: Man bestimme N für m = 50, n = 60, a = 30.

Beispiele: 4 x 7 - Raster (m = 4, n = 7) mit verschiedenen Parametern a.

      m = 4, n = 7, a = 1 => N = 24             m = 4, n = 7, a = 2 => N = 17

      m = 4, n = 7, a = 4 => N = 6                m = 4, n = 7, a = 5 => N = 3

        m = 3, n = 7, a = 3 => N = 9

Seien z und n zwei natürliche Zahlen >1, die teilerfremd zueinander sind.

Wir bilden folgende n Summenzahlen:

s₀ = 1
s₁ = 1 + z
s₂ = 1 + z + z²
...
s_n-1= 1 + z + ... + z^n-1

Die Behauptung lautet: Mindestens eine dieser n Summenzahlen ist durch n teilbar.

Tipp:

Man führe den Beweis indirekt, d.h. nehme an, dass keine dieser n Summenzahlen durch n teilbar ist, d.h. dass bei Division durch n stets ein Rest entsteht (Annahme).
Mögliche Reste: 1, ... , n-1. (Der Rest 0 entfällt ja nach Annahme.)

Man schliesse aus dem Schubladenprinzip dass mindestens zwei dieser Summenzahlen bei Division durch n denselben Rest ergeben.

Was folgt für die Differenz dieser beiden Summenzahlen?

Daraus lässt sich dann ein Widerspruch zur Annahme oben ableiten.

Aus der IMO Longlist 1969:

Zeige:

Tipp:

Summiere bis Unendlich und gruppiere die Summanden wie folgt:

Schätze nun die einzelnen Klammerterme nach oben ab, d.h. vergrössere sie ein wenig...

Diese Funktion birgt eine "explosive" Überraschung!

Aus der IMO-Shortlist 1981:

Man hat ein ganzzahliges Zahlgitter. Jedem Gitterpunkt (x, y) ist durch eine Funktion f(x,y) eine natürliche Zahl zugeordnet.

f(x, y) ist durch folgende Eigenschaften charakterisiert:

1. f(0, y) = y + 1
   
   
2. f(x+1, 0) = f(x, 1)
   
   
3. f(x+1, y+1) = f(x, f(x+1, y))
   
   

Man bestimme f(2, 2) und f(3, 3), sowie f(4, 1).

Tipp:
Man gehe spaltenweise vor (x = 0, x = 1, usw.).

Wie geht die Folge 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... weiter?
Eine mögliche Fortsetzung ist:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,18,20,21,24,27,...
Das sind die Niven- oder Harshad-Zahlen. Das sind Zahlen, die durch ihre Quersumme (im Dezimalsystem) teilbar sind.

Die folgende Aufgabe stammt aus dem Tages-Anzeiger-Zahlendreher der Woche 46/2022:

Man finde einige 100-stellige Harshad-Zahlen ohne Vorkommen der Ziffer 0.

Einige Konkretisierungen der vorstehenden Aufgabe:

Man finde eine 100-stellige Harshad-Zahl ohne Vorkommen der Ziffer 0

1. mit Quersumme 125
2. mit Quersumme 144
3. mit Quersumme 128
4. mit Quersumme 108.

Zu Harshad-Zahlen: siehe hier und hier.

Aus "Zahlendreher", Tages Anzeiger, Woche 25/2023.
Ein Zahlrätsel kann z.B. entstehen, wenn man beim Spielen mit Zahlen eine überraschende Entdeckung macht und sich dann fragt, ob noch weitere Zahlen das entdeckte Phänomen erfüllen.

Hier eine solche "Entdeckung":

Man addiere zu einer zweistelligen Zahl eine einstellige Zahl. Dies ergibt eine Summe.
Ersetzt man die Addition durch eine Multiplikation, entsteht die Spielgelzahl dieser Summe.

Man finde alle Zahlenpaare (zweistellig; einstellig), für welche dieses Phänomen zutrifft.

Aus "Zahlendreher", Tages Anzeiger, Woche 40/2023
Jemand denkt sich eine Zahl zwischen 1 und 100. Er nennt den Rest bei Division durch 7, den Rest bei Division durch 5 und den Rest bei Division durch 3.
Nun kann die gedachte Zahl eindeutig genannt werden.
Wie geht dies?