Eine Geometrie mit 9 Punkten
Bild einer 9-Punkte-Geometrie
Wir lösen uns vom anschaulichen Begriff einer Geraden. Eine "Gerade" soll einfach eine Verbindung zweier Punkte sein. Die 12 farbigen Gebilde links (3 rote, 3 blaue, 3 grüne, 3 gelbe) seien also die "Geraden" dieser 9-Punkte-Geometrie.
Es gelten folgende Axiome:
A1. Zu je zwei Punkten gibt es genau eine Verbindungsgerade. [Beispiel: A und F sind durch eine gebogene rote Linie verbunden.]
A2. Zu jeder Geraden und jedem Punkt ausserhalb dieser Geraden gibt es genau eine Gerade, die mit der gegebenen Geraden keinen Punkt gemeinsam hat, d.h. genau eine "Parallele" (Parallelenaxiom).
A3. Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, d.h. es gibt mindestens ein Dreieck. [Beispiele von Dreiecken: ABE, ABF]
Eine Struktur, welche obige Axiome 1- 3 erfüllt, heisst "affine Ebene".
Diese endliche Geometrie hat 9 Punkte und 12 Verbindungslinien, die wir "Geraden" nennen. Jede Gerade besitzt 3 Punkte. Die Geraden sind also die farbigen Verbindungslinien zwischen zwei Punkten. Wir nennen also auch die gebogenen Verbindungen Geraden (z.B. FG).
Durch jeden Punkt gehen vier Geraden (von jeder Farbe eine).
Wie in der "gewöhnlichen", euklidschen Geometrie definieren wir, wann zwei Geraden parallel genannt werden sollen: Zwei Geraden heissen parallel, wenn sie entweder identisch sind oder wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben. Welche Geraden im Bild oben sind demnach parallel?
[Lösung: Genau die gleichfarbigen Geraden sind je unter sich parallel.]
Frage: Welche Geraden dieser Geometrie könnten "senkrecht zueinander" genannt werden?
Einführung von Koordinaten auf dieser Geometrie:
Wir führen ein Koordinatensystem ein, indem wir dem Punkt A die Koordinaten (0 | 0), dem Punkt B (1 |0) und dem Punkt D (0 | 1) zuordnen. Weil die Geometrie endlich ist, man aber beliebig oft eine Koordinateneinheit addieren kann, muss der Zahlbereich, aus dem die Koordinaten stammen endlich sein. Man wählt als Koordinaten die sogenannten Dreier-Restklassen. Das sind die Reste, die eine Zahl bei Division durch 3 bildet. Da gibt es nur 3 Möglichkeiten: Rest 0, Rest 1 oder Rest 2.
Zahl: 0 1 2 3 4 5 6...
3er-Rest: 0 1 2 0 1 2 0...
Wir rechnen nur mit den Resten 0, 1 und 2. Es gilt z.B.: Eine Zahl mit Rest 2 plus eine Zahl mit Rest 1 ergibt eine Zahl mit Rest 0. Dies schreiben wir so:
2 + 1 = 0. Analog folgt z.B. 2 + 2 = 1.
Wir können diese Dreierrestzahlen auch miteinander multiplizieren: Es gilt z.B.
2 * 2 = 1.
Hier die Operationen + und * in einer Additions- und einer Multiplikationstabelle:
+ 0 1 2 * 0 1 2
0 0 1 2 0 0 0 0
1 1 2 0 1 0 1 2
2 2 0 1 2 0 2 1
Da 2 + 2 = 1 ist, folgt: 2 ist die Hälfte von 1 oder 2 = 1/2.
Fortsetzung: Koordinaten in der 9-Punkte-Geometrie:
Die Punkte haben folgende Koordinaten:
A(0 | 0), B(1 | 0), C(2 | 0), D(0 | 1), E(1 | 1), F(2 | 1), G(0 | 2), H(1 | 2), I(2 | 2)
Mittelpunkt zweier Punkte: Die Koordinaten des Mittelpunkts zweier Punkte sind der Durchschnitt der Koordinaten der Punkte. Beispiel:
Mittelpunkt der Strecke AC: ((0 + 2)/2 | (0 + 0)/2) = (1 | 0) = Punkt B.
Mittelpunkt der Strecke AB: ((0 + 1)/2 | ((0 + 0)/2) = (1/2 | 0) = (2 | 0) = C. In dieser seltsamen 9-Punkte-Geometrie ist der Mittelpunkt zweier Punkte stets der dritte Punkt auf der entsprechenden Geraden! Mit unserer gewöhnlichen "Intuition" von "Mitte" hat dies nichts mehr zu tun.
Geradengleichungen:
Beispiel: Gleichung der Geraden DC: Wir setzen: y = mx + q.
D eingesetzt: 1 = m*0 + q => q = 1
C eingesetzt: 0 = m*2 + 1 => 2m = -1 = 2 => m = 1
Die Gleichung der Geraden DC ist folglich y = x + 1.
Senkrechte:
Zwei Geraden sollen auch in dieser Geometrie senkrecht aufeinander stehen, wenn das Produkt ihrer Steigungen = -1 ist. -1 ist aber hier gleich 2. Zwei Geraden stehen somit senkrecht aufeinander, wenn ihre Steigungen das Produkt 2 haben. Zudem sollen die Geraden mit Steigung 0 senkrecht auf den Geraden mit Steigung unendlich sein.
Rote Geraden: Steigung -1 = 2.
Blaue Geraden: Steigung 1.
Grüne Geraden: Steigung 0.
Gelbe Geraden: Steigung unendlich.
Die roten und die blauen Geraden stehen senkrecht aufeinander, ebenso die grünen und die gelben.
Einige "seltsame" Resultate der 9-Punkte-Geometrie:
- Die 3 Seitenhalbierenden jedes Dreiecks sind zueinander parallel.
- Die Höhen jedes Dreiecks schneiden sich in einer Dreiecksecke.
- Jedes Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig.