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Die Linie - ein mathematisch-kultureller Rundgang

Fraktale

   
 
   
 

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  Unendlich kleine Details, 1. Teil      
 

Hier ist eine Linie: Nr. 1.

k1

     
 

Wir verändern sie, und es entsteht diese Linie: Nr. 2.

     
 

k2

Nach der gleichen Spielregel verändern wir auch Nr. 2; es entsteht Nr. 3.

     
  k3      
  Wie geht es weiter? Wie sehen die nächstfolgenden Figuren aus? - Die neue Linie ist jeweils länger als die Vorgängerin. Um welchen Bruchteil wächst jeweils die Länge von Bild zu Bild?      
 

k4

 

 

Links sind die Bilder Nr. 1 bis 6 dargestellt. Die Linie wird immer feiner "gezähnt". Denkt man sich die Folge unendlich oft weitergeführt, entsteht -nach unendlich vielen Schritten und natürlich rein theoretisch - ein "flimmerndes" Gebilde, von dem man nicht mehr richtig sagen kann, dass es eine Linie ist. Es flirrt und flimmert und ist gewissermassen "verschmiert". Das Gebilde ist irgend etwas zwischen Linie und Fläche, ein Zwischending zwischen einem eindimensionalen und einem zweidimensionalen Gebilde.

Können wir dem Gebilde im Bild Nr. "unendlich" eine Dimension zuordnen? Diese müsste zwischen 1 und 2 liegen. Die Figur Nr. "unendlich" wird Koch-Kurve genannt.

Die Koch-Kurve ist selbstähnlich. Das bedeutet, dass jeder Teil der Kurve ein vollkommenenes verkleinertes Bild der ganzen Kurve ist. Vollkommene Selbstähnlichkeit kommt natürlich nur der Figur Nr. "unendlich" zu.

Die Idee der Selbstähnlichkeit hat die Menschen seit uralten Zeiten fasziniert. Immer wieder tauchte der Gedanke auf, dass sich im "Mikrokosmos" auch der "Makrokosmos" zeige, dass sich etwa in der Entwicklung des einzelnen Menschen (in der Phylogenese) die Entwicklung der ganzen Art (der Ontogenese) spiegle. Es bleibe dahingestellt, wie "wissenschaftlich" solche Gedankenspiele sind; Tatsache ist, dass der Mensch immer wieder versucht hat, im "Teil" das "Ganze" zu finden.

 
 

Verallgemeinerung des Dimensionsbegriffs

     
 

Der Begriff der "Dimension" eines Gebildes kann auf verschiedene Arten verallgemeinert werden. Einen Überblick bietet

http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktale_Dimension

Wir beschränken uns auf eine relativ einfach zu verstehende Art der Verallgemeinerung, auf die sogenannte "Ähnlichkeitsdimension", die für selbstähnliche Figuren gut passt.

Zoome ich eine Strecke, also ein eindimensionales Gebilde, z.B. mit dem Faktor 1/3 (allgemein mit dem Faktor 1/k), so lässt sich die solcherart verkleinerte Strecke 3-mal (k-mal) in der ursprünglichen Strecke einbauen.

Zoome ich ein Quadrat, also ein zweidimensionales Gebilde, mit dem Faktor 1/3 (allgemein mit 1/k), so lässt sich das solcherart verkleinerte Quadrat 9-mal (k²-mal) im ursprünglichen Quadrat einbauen.

Im dreidimensionalen Fall lässt sich ein mit Faktor 1/3 gezoomter Würfel 27-mal (k³-mal) im ursprünglichen Würfel einbauen.

Ist N die Anzahl Einbaumöglichkeiten des kleinen Gebildes im ursprünglichen Gebilde, d die Dimension der betrachteten Gebilde (1, 2 oder 3) und 1/k der Zoomfaktor zur Erzeugung des ähnlichen kleinen Gebildes, so gilt:

adhoc

Diese Formel ist der Schlüssel zur Verallgemeinerung des Dimensionsbegriffs. In der Kochkurve oben ist ein mit Faktor 1/3 gezoomtes Element 4-mal im ursprünglichen Element enthalten (d.h. N = 4). In der Gleichung oben kennen wir also k und N und können d bestimmen:

adhoc2

Die Kochkurve hat somit die Ähnlichkeitsdimension 1.261859507...

 

 

Ein schönes Gebilde entsteht übrigens, wenn man drei Kochlinien im Winkel von 60° aneinanderhängt:

schneeflocke

Es entsteht die Koch-Schneeflocke.

Da diese Gebilde eine Dimension besitzen, die nicht ganzzahlig ist, nennt man sie Fraktale.

Viele Formen in der Natur erinnern an Fraktale (obwohl sie natürlich keine exakten Fraktale sind): Küsten- und Wolkenformen, Struktur von Pflanzen (z.B. Kohlgewächse), usw.

 

 

 

 

 
  Der Begriff der Ähnlichkeitsdimension kann natürlich nur verwendet werden, wenn die ähnlich verkleinerten Gebilde wieder ins ursprüngliche Gebilde eingepasst werden können. Beim Quadrat und bei der Kochkurve funktioniert dies, aber bereits bei einem Kreis sind ja die gezoomten Kreise nicht mehr in den ursprünglichen Kreis "einparkettierbar".      
 
 
 
  Unendlich kleine Details, 2. Teil      
  cantorgarten01  

Links wird ein quadratisches Ausgangsbild nach folgender Regel verändert:

Man verkleinere das ursprüngliche Quadrat auf 1/9 der Fläche und schiebe es nach oben (s. rechtes Bild). Dann brauchen wir noch zwei verzerrte Kopien des ursprünglichen Bildes: Die Höhe wird auf 1/3 gestaucht, die Breite bleibt. Eine solche Kopie wird um 90° nach links, die andere um 90° nach rechts gedreht. Die Teile werden so aneinandergesetzt, wie es das rechte Bild zeigt.

Zusammen mit der verbleibenden weissen Fläche ist so wieder ein Quadrat entstanden.

Dieses neue Quadrat mit seinem vierteiligen Muster wird nun erneut derselben Prozedur unterworfen: verkleinern, nach oben schieben, zwei verzerrte Kopien herstellen, zusammensetzen wie vorher. Es entsteht ein neues Quadrat mit noch feinerer Struktur (wieviele Bäumchen enthält das dritte Bild?).

Machen wir uns die Sache etwas einfacher und zeichnen wir die Quadrate ohne die Bäumchen.

 
 

Figuren 1 - 3

 

Figuren 4 - 6

 
 

Figuren 7 - 9

 

Von Bild 9 an werden die Veränderungen von Bild zu Bild so klein, dass man auf dem Computerbildschirm mit seiner Auflösung von 72 ppi keine Unterschiede mehr sieht (d.h. die Unterschiede sind kleiner als die Pixelauflösung). Trotzdem entstehen theoretisch immer feinere Bilder. Der "Irrgarten des Herrn Cantor" (nach dem Erfinder Moritz Cantor) wird immer komplizierter. Das Bild Nummer "unendlich" hat wiederum eine nicht ganzzahlige Dimension zwischen 1 und 2, während jedes Bild mit endlicher Nummer exakt zweidimensional ist.

Hätten wir die Bäumchen mitgezeichnet, so befänden sich im neunten, hellgrünen Bild 6591 Bäumchen, ein Traum für jeden Bonsai-Fan.

 
         
         
  Der Abstand zwischen zwei Bildern der Bildfolge      
 

Die 9 Bilder oben gehören zu einer Bildfolge, in welcher die Unterschiede von Bild zu Bild immer kleiner werden. Was genau ist mit dem Begriff "Unterschied zwischen zwei Bildern" gemeint? Der Mathematiker Felix Hausdorff (1868 - 1942) ist wie folgt vorgegangen, um einen Abstand zwischen zwei Bildern zu definieren:

Lege um Bild 1 einen "Kragen" der Breite e, so dass das zweite Bild gerade noch umfasst wird. Lege um Bild 2 ebenfalls einen Kragen, so dass das erste Bild gerade noch umfasst wird. Das Maximum der beiden Kragendicken ist der Hausdorff-Abstand zwischen den beiden Bildern.

Rechts: Bild 1: grüner Kreis, Bild 2: roter Kreis. Die feinen Kreislinien sind die Kragen, die das jeweils andere Bild gerade noch umfassen. Der rote Kragen ist der dickere der beiden Kragen. Somit ist der rote Doppelpfeil der Hausdorff-Abstand zwischen den beiden Kreisen.

Die folgenden Bilder zeigen je zwei aufeinanderfolgende Bilder der Cantor-Garten-Reihe aufeinandergelegt (gelb auf grau):

   
 

Man sieht, dass die unten hervorguckenden grauen Bildteile des Vorgängerbildes immer kleiner werden. Die e-Kragen können immer schmaler gewählt werden.

     
 
 
 
  Unendlich kleine Details, 3. Teil      
  Die Sierpinski-Kurve      
 

Figuren 1a und b

 

Figuren 2 - 5

 

 
  Ausgangsfigur ist die Figur links oben. Sie liegt in einem unsichtbaren Einheitsquadrat. Wir öffnen die Figur an einer Ecke und replizieren sie vier Mal. Die neu entstandene Figur zoomen wir zurück ins Einheitsquadrat. Es entsteht Figur 2. Wiederholung der Prozedur führt zu den weiteren Figuren.  

Figur 6

 
 

Eine Liste mit weiteren Fraktalen samt Dimensionsangabe findet sich hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension

Eine Bemerkung zu obigem Link:

Auf der angegebenen Seite werden auch fraktale Dimensionen von materiell existierenden Dingen (Blumenkohl, Broccoli, Küste Englands) angegeben. Ich halte dies nicht für zulässig. Jede endliche Verwirklichung ist kein Fraktal und hat somit auch keine fraktale Dimension. Jede noch so feine endliche Annäherung der Sierpinski-Kurve z.B. hat exakt Dimension 1 (es ist eine Linie), erst das Bild Nr. "unendlich" hat Dimension 2. Deshalb ist es auch nicht zulässig der "endlichen Verwirklichung eines Blumenkohls" eine fraktale Dimension zuzuschreiben, diese käme erst einem "ideellen" Grenzwertobjekt zu.

 

Die Sierpinski-Kurve ist flächenfüllend, d.h. sie kommt bei jedem Punkt des Bildquadrates vorbei. Die Kurve hat ferner ein Inneres und ein Äusseres. Das Innere hat ein endliches Flächenmass, der Umfang ist jedoch unendlich!

Die Ähnlichkeitsdimension ist 2, obwohl das Gebilde sich aus einer Kurve herleitet.

 
 
 
 
  Unendlich kleine Details, 4. Teil      
  Der Cantor-Staub      
   

Georg Cantor (1845 - 1918)

 
 

Georg Cantor, der auch den "Garten" von vorhin erfunden hat, hat sich bei seinen Forschungen zum Begriff des "Unendlichen" folgende Menge ausgedacht:

  • Starte mit einer Strecke. Wir geben ihr hier die Länge 1 (z.B.1 dm).
  • Drittle sie und schneide das mittlere Drittel weg. Das ergibt Stufe 1 der Figur.
  • Mit den verbleibenden beiden äusseren Dritteln wird dieselbe Prozedur vollzogen: dritteln und den mittleren Teil weglassen. Man erhält Stufe 2.
  • So fährt man weiter.

Das Bild oben zeigt die Anfangsstrecke und die Stufen 1 bis 3. Die Figur Nr. "unendlich" hat merkwürdige Eigenschaften. Sie ist so fein wie Staub, hat grosse, aber auch unendlich feine Löcher und eine Dimension zwischen 0 und 1.

 

Fragen zum Cantor-Staub:

Man kann die Figur Nr. "unendlich" als Teilmenge der Einheitsstrecke [0;1] auffassen. Gewisse Zahlen zwischen 0 und 1 gehören dann zum Cantor-Staub, andere nicht, da sie weggeschnitten wurden.

  • Wie gross ist die Ähnlichkeitsdimension? Ist der Cantor-Staub selbstähnlich?
  • Die Brüche 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 6/9, 7/9, 8/9, usw. sind Randpunkte der Teilstrecken in den einzelnen Bildstufen. Sie sind in der Bildfolge oben links speziell dick gemalt worden. Behauptung: Diese Punkte überleben sämtliche Wegschneid-Operationen und gehören deshalb zum Bild Nr. "unendlich", d.h. zum Cantor-Staub. Richtig oder falsch?
  • Besteht der Cantor-Staub nur aus solchen Randpunken oder enthält er darüberhinaus noch weitere Punkte?
  • Gehört 59/81 zum Schlussbild oder fällt dieser Punkt in ein Loch?
  • Gehört 1/4 zum Schlussbild oder nicht?
 
 

Adressen in der Cantorstaub-Welt

Um in ein bestimmtes Stück des Cantorstaubs zu gelangen -natürlich nur in Gedanken, denn die Reise geht ja zu einem Bild mit Nummer "unendlich"- kann man einem Navigationssystem folgen. Es besteht aus den drei Fahrbefehlen

L, M und R.

Sie stehen für LINKS, MITTE und RECHTS. Auf diese Weise hat nun jeder Streckenabschnitt in jedem einzelnen Bild der ganzen Bildreihe eine "Adresse". LRL bedeutet: Links - Rechts - Links. Man landet im Bild Nr. 3 im Abschnitt, der von 6/27 bis 7/27 geht (in der Abb. rechts rot umrandet).

   
  Eine Adresse kann auch in einem Loch landen: LMR landet z.B. im rechten Teil eines Loches, nämlich zwischen 5/27 und 6/27. Um zum unendlich weit entfernten Cantor-Staub zu gelangen, muss die Adresse aus unendlich vielen Buchstaben L, R und M bestehen. Das Adressziel wird dann so klein, dass es einem einzigen Punkt entspricht.  

Adress-Quiz

  • Was bedeutet es, wenn in einer Adresse in M vorkommt?
  • Bei welcher Zahl landet die Adresse LLL..., wo landet RRR..., wo landet LRRR..., wo MLLL..., wo LRLLL...? (Der fett gedruckte Teil soll dabei unendlich oft wiederholt werden.)
  • Wie lautet die unendlich lange Adresse für 7/9?
  • Wo landet LRLR...?
  • Man nehme irgendeinen Punkt des Cantor-Staubes. Hat es Löcher in der Nähe? Wie nahe? Hat es andere Staub-Punkte in der Nähe? Wie nahe?
 
 

Hinweise zu den Fragen:

Der Cantor-Staub ist selbstähnlich. Seine Ähnlichkeitsdimension ist log2 / log3 = 0.6309... Die Randpunkte der Bildfolgen überleben alle Wegschneid-Operationen und gehören zum Schlussbild. Es gibt aber weitere Punkte, die zum Schlussbild gehören. 1/4 ist so ein Beispiel.

 

Hinweise zum Adress-Quiz

Wenn M vorkommt, fällt der Punkt in ein Loch. Es gibt eine Ausnahme: Wenn auf M sofort nur noch LL... oder RR... folgt, wird ein Randpunkt angesteuert. So landet MLL... nach unendlich vielen Schritten bei 1/3. Diese Zahl hat zwei Adressen; sie wird auch durch LRR... erreicht.

1/4 wird durch die unendlich Adresse LRLR... erreicht. Da kein M in der Adresse vorkommt, gehört der Punkt zum Schlussbild, obwohl es sich nicht um einen Randpunkt handelt.

 
   

In jeder noch so kleinen Nachbarschaft eines Staub-Punktes finden sich sowohl Löcher wie auch andere Staub-Punkte. Beispiel: Bild Nr. 30 (links): Dieses Bild besteht aus über einer Milliarde kleiner Teilstücke, von denen jedes etwa

0.000 000 000 000 05 mm "gross" ist (bei Anfangslänge 1 dm). Eines dieser Stückchen ist links vergrössert dargestellt. Ein Staub-Punkt ist rot markiert. Man sieht, dass sowohl weitere Staubpunkte (z.B. die gelb markierten Randpunkte) wie auch ein Loch weniger als

0.000 000 000 000 05 mm entfernt sind.

Gibt es Löcher, die noch näher liegen? Dazu betrachten wir z.B. Bild Nr. 100. Hier sind die Distanzen noch viel kleiner als im Bild Nr. 30.

Bei jedem Punkt des Cantor-Staubes liegen also beliebig nahe sowohl weitere Staub-Punkte wie auch Löcher. Staub und Löcher sind unendlich fein ineinander gemischt. Der Cantor-Staub ist ein unendlich feines Punkte-Löcher-Gemisch, aufgereiht auf einer Zeile. Allerdings gibt es natürlich dazwischen auch grosse Löcher, z.B. dasjenige zwischen 1/3 und 2/3 oder das zwischen 1/9 und 2/9. Die Löcher werden von Bild zu Bild schmaler, aber die alten, grossen Löcher bleiben bestehen.

Das Gebilde ist so seltsam, dass Cantor selber, als er es erfunden hatte, erstaunt sagte:

 
      "Je le vois, mais je ne le crois pas."  
  Gedanken zum Begriff des Unendlichen      
 

Ein paar Denkanstösse zum Begriff des Unendlichen in Mathematik und Philosophie finden sich hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Potentielle_und_aktuale_Unendlichkeit

Die Frage, ob Gebilde wie die hier beschriebenen, Gebilde also mit "Nr. unendlich", existieren (und in welcher Weise man sich eine allfällige Existenz vorstellen soll), hat Mathematiker und Philosophen immer wieder beschäftigt.

Nehmen wir den Cantor-Garten. Alle Bilder mit endlicher Nummer haben exakt die Dimension 2. Einzig das "Bild Nr. unendlich" hat eine Dimension kleiner als 2. Wie nahe ist z.B. Bild Nr. 9 dem Bild Nr. "unendlich"? Vom geometrisch-anschaulichen Standpunkt aus sind die beiden Bilder sich "sehr nahe"; die Unterschiede sind äusserst gering. Bild Nr. 9 und Bild Nr. "unendlich" unterscheiden sich viel weniger voneinander als etwa Bild Nr. 2 und Bild Nr. 9. Von der Bildfolge her ist aber Bild Nr. 9 immer noch unendlich weit von Bild Nr. "unendlich" entfernt (d.h. praktisch gleich weit entfernt wie Bild Nr. 2).

Das sind Fragen, die bei der Einführung von "Grenzwerten" meist etwas leichtfertig übergangen werden.

 

Das Erzeugen von "Grenzwertbildern" ist wiederum tief im menschlichen Denken verankert. Es ist die Fähigkeit des Menschen, in Metaphern zu denken. Zudem wird beim "Erzeugen" des Bildes Nr. "unendlich" die Zeit gewissermassen ausgeschaltet; kein zeitlicher Prozess würde je zu einem solchen Bild führen. Das Bild Nr. "unendlich" liegt gewissermassen ausserhalb der Zeit.

Es ist ein menschlicher Zug, sich "Grenzwerten" anzunähern (seien es Ziele, Ideale, Utopien).

Über die Art der Existenz des Aktualunendlichen sind sich die Philosophen der Mathematik bis heute nicht einig. Aber auch ein Existenz-Skeptiker muss doch zugeben, dass ein Gebilde wie der Cantor-Staub, auch wenn es für ihn nicht existiert, die Dimension 0.6309... haben muss oder dass die Koch-Kurve auch bei angezweifelter Existenz die Eigenschaft hat, selbstähnlich zu sein...