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Die Ungleichung von Tschebyscheff

   
 
   
 

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  Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyscheff-Ungleichung      
  Quelle: Anschauliches Beweisen, Schriftenreihe Didaktik der Mathematik, Bd. 18, Hg: H.Kautschitsch, W.Mettler, Teubner, Stuttgart, Hölder-Pichler, Wien, 1989; p.211, Autor: H.Wiedling      
         
 

Beispiel

16 Personen absolvieren einen Konzentrationstest, von dem man weiss, dass der Mittelwert 60 und die Standardabweichung 10 Punkte beträgt; die Varianz als quadrierte Standardabweichung ist folglich = 100.

Wie viele Personen maximal befinden sich punktemässig ausserhalb des Intervalls
[60-20;60+20] = [40;80]?

Zufallsvariable X = Anzahl erreichte Punkte.

 

 

Lösung
Die Varianz ist = 100 und bedeutet die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert pro Person. Bei 16 Personen erhalten wir also ein "Varianz-Budget" von 1600. So viele quadrierte Abweichungen vom Mittelwert sind total zu erwarten.

Jede Person mit mehr als 20 Punkten Abweichung vom Mittelwert erzeugt bereits eine erhebliche Varianz von mindestens 400. Bei maximal 4 Personen mit einer solchen Abweichung ist das Varianz-Budget von 1600 somit bereits aufgebraucht
(1600 : 400 = 4).
Es sind also maximal 4 von 16 Personen mit Punktwerten ausserhalb des fraglichen Intervalls zu erwarten, das sind maximal 25%. Bei mindestens 75% der Personen erwarten wir umgekehrt Punktwerte innerhalb [40;80].

 
 
 
 
 

Verallgemeinerung
Sei X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert μ und Varianz σ2 .
Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert der Zufallsvariablen X ausserhalb von  I = [ μ - k ; μ + k] liegt. Die Verteilung von X darf auch schief sein.

Analog zum Zahlenbeispiel oben finden wir:

n ⋅σ2 = Summe aller quadrierten Abweichungen vom Mittelwert = Abweichungs-Budget.
k2 = Mindestbeitrag eines Wertes ausserhalb des fraglichen Intervalls I an die quadrierten Abweichungen.
λ = Anzahl Werte ausserhalb von I.

Dann gilt:
λ⋅k2 ≤ n⋅σ2 ⇒ λ / n ≤ σ2 / k2.

λ / n = p = Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert ausserhalb von I liegt.

Dann gilt:

p ≤ σ2 / k2 oder P[" |X - μ| ≥ k"] ≤ σ2 / k2
 

Spezielle Werte für k

 

k = 1σ:       p ≤ σ2 / σ2 = 1:              Dies ist trivial.

k = 2 σ:       p ≤ σ2 / (4σ2 ) = 1/4:     Mind. 75% der Daten liegen innerhalb
                                                        [ μ - 2σ ; μ + 2σ]

k = 3 σ:       p ≤ σ2 / (9σ2 ) = 1/9:     Mind. 88.9% der Daten liegen innerhalb
                                                        [ μ - 3σ ; μ + 3σ]

k = √2 σ:       p ≤ σ2 / (2σ2 ) = 1/2:     Mind. 50% der Daten liegen innerhalb
                                                         [ μ - √2 ⋅σ ; μ + √2 ⋅σ]