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Die Ungleichung von Tschebyscheff |
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Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyscheff-Ungleichung | |||||
Quelle: Anschauliches Beweisen, Schriftenreihe Didaktik der Mathematik, Bd. 18, Hg: H.Kautschitsch, W.Mettler, Teubner, Stuttgart, Hölder-Pichler, Wien, 1989; p.211, Autor: H.Wiedling | |||||
Beispiel
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Lösung Jede Person mit mehr als 20 Punkten Abweichung vom Mittelwert erzeugt bereits eine erhebliche Varianz von mindestens 400. Bei maximal 4 Personen mit einer solchen Abweichung ist das Varianz-Budget von 1600 somit bereits aufgebraucht |
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Verallgemeinerung Analog zum Zahlenbeispiel oben finden wir: n ⋅σ2 = Summe aller quadrierten Abweichungen vom Mittelwert = Abweichungs-Budget. Dann gilt: λ / n = p = Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert ausserhalb von I liegt. Dann gilt:
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Spezielle Werte für k
k = 1σ: p ≤ σ2 / σ2 = 1: Dies ist trivial. k = 2 σ: p ≤ σ2 / (4σ2 ) = 1/4: Mind. 75% der Daten liegen innerhalb k = 3 σ: p ≤ σ2 / (9σ2 ) = 1/9: Mind. 88.9% der Daten liegen innerhalb k = √2 σ: p ≤ σ2 / (2σ2 ) = 1/2: Mind. 50% der Daten liegen innerhalb
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