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Sinus-, Kosinus-Einheitskreismodell, dynamisch, Geogebra
 
Tangensmodell, dynamisch, Geogebra
 
Dreiecksfläche aus 2 Seiten und Zwischenwinkel, dynamisch (Geogebra)
 
Nocken auf Drehteller und sein Schatten -> Bewegung eines Federpendels, dynamisch, Geogebra
 
Sinuskurve verändern, dynamisch (Geogebra). Einfluss der verschiedenen Parameter
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Schwingungen einer Stimmgabel



stimmgabel


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Geogebra-Modell

Die Zinken einer Stimmgabel schwingen nahezu harmonisch. Befestigt man an einer Zinke einen Stahlstift und lässt die Gabel über eine berusste Glasplatte laufen, entsteht eine Zeitdarstellung der Auslenkungen. Das Geogebramodell imitiert diesen Vorgang in Zeitlupe. Es entsteht das Bild einer Sinusfunktion.

schwingende_stimmgabel

 

 
 
 

Tageslänge näherungsweise modelliert mit Sinusfunktion

     
 

Eine unveränderte Sinusfunktion y = sin(x), x im Bogenmass, hat Periode 2π.
Will man eine Sinusfunktion mit Periode 1 modellieren, wählt man y = sin(2πx).
Eine Sinusfunktion mit Periode 12 ist die Funktion y = sin(2πx / 12). Siehe Bild:

Fazit: Will ich eine Sinusfunktion mit Periode T modellieren (mit x im Bogenmass!), so wähle ich
y = sin(bx) mit b = 2π / T.

 

Aufgabe: Tageslänge mittels einer Sinusfunktion modellieren:

 

 

Die Tageslänge in Zürich beträgt am 21. März  12.2 h, am 21. Juni 15.9 h.
x-Achse: Anzahl Monate ab 21.März.   Periode: x = 12 Monate. 
y-Achse: Anzahl Stunden Tageslänge



Drücken Sie die Tageslänge ausgehend vom 21. März (Frühlingsanfang, x = 0 Mt) durch eine möglichst einfache Sinusfunktion aus.



Berechnen Sie die Tageslänge für den 21. Januar, den 21. November und den 21. Dezember.

 

 

 
 
 
 
 

Lösung

 

Wir benötigen eine Sinusfunktion mit Periode 12 (Monate):

y = A sin(2πx / 12) + d oder y = A sin(πx / 6) + d.

y(0) = 12.2 h => d = 12.2 => y = A sin(πx / 6) + 12.2.

y(3) = 15.9 h => A sin(3π / 6) + 12.2 = 15.9 oder A sin(π/2) = 3.7 => A⋅1 = A = 3.7.

Somit lautet die gesuchte Funktion: y = 3.7 sin(πx / 6) + 12.2.

 

21. Januar:              f(-2) = 9h

21. November:         f(8) = 9h

21. Dezember:         f(9) = 8.5 h

Die berechnete Sinusfunktion liefert einen recht genauen Näherungswert.
Effektiver Wert am 21.1.2016: 9.07 h; am 21.11.2016: 9.05 h; am 21.12.2016: 8.43 h.

Die Sinuskurve ist im Frühling und im Herbst am steilsten, im Sommer und im Winter am flachsten. Im Sommer und im Winter ändert also die Tageslänge von Tag zu Tag nur sehr schwach, im Frühling und im Herbst deutlich stärker (siehe Grafik unten).

Link zu Tageslängen

 
 

Rechts: Grafik zu y = 3.7 sin(πx / 6) + 12.2.

x = Anzahl Monate ab 21.3. (21.3.: x = 0 bzw. x = 12)
y = Anzahl Stunden Tageslänge

(Die x-Achse ist bei y = 8 eingezeichnet, um die Grafik nicht unnötig zu vergrössern!)

   
 
 
 
  Gezeitenverlauf modelliert mit Sinusfunktion      
 

Aufgabe

Die Gezeiten verlaufen mit einer Periode von ca.12.5 Stunden. Der Verlauf des Wasserstandes ist ungefähr sinusförmig. An einem Ort betrage der Unterschied des Wasserpegels zwischen Ebbe und Flut 7 Meter.
a) Man beschreibe den Verlauf des Wasserstandes durch eine Sinusfunktion (Bogenmass). x = Anzahl Stunden ab Nulllage; y = Anzahl Meter Tidenhub über Nulllage.
b) Wie viele Meter über dem Tiefstand steht der Wasserstand 7 Stunden nach dem Höchststand?

 

Lösung

a) Periode: 12.5 h. Amplitude 3.5 m. Folglich f(x) = 3.5⋅sin(2πx / 12.5).

b) Nulllage bei x = 0. Höchststand bei 12.5 / 4 = 3.125.
    7 h nach Höchststand ist x = 10.125.
     f(10.125) = -3.25. Das sind 0.25 m über dem Tiefstand -3.5 m.

Diese Modellierung ist lediglich eine grobe Näherung für kurzzeitige Abschätzungen. Insbesondere ist auch die Periode 12.5 h lediglich ein Näherungswert.

 
  Rechts: Grafik zur Aufgabe    
 
 
 
  Testaufgaben      
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mögliche Lösungswege mit Arbeitstipps

 
 

Aufgabe 1

 

 

 

Tipp: Man suche Dreiecke, von denen man 3 Stücke kennt: Dann kann man beliebige übrige Grössen dieses Dreiecks berechnen.

Möglicher Lösungsweg (Plan): Mit b kennt man auch b/2, somit vom oberen Teildreieck 3 Stücke. Winkel bei C berechnen. Dann mit Kosinussatz c berechnen. Nun mit Sinussatz Winkel bei A berechnen

 

 


 
 

Aufgabe 2

 

Farbskizze herstellen. Gegebenes farbig bezeichnen.

Winkel bei C via Winkelsumme: 40°.

a) Berechnungen mittels Sinussatz: c : sin(40°) = ...

b) Flächeninhalt mittels Sinus-Flächenformel berechnen: Seite mal Seite mal Sinus Zwischenwinkel dividiert durch 2.

c) Doppelter Flächeninhalt dividiert durch Länge b gleich Länge der gesuchten Höhe.


 
 

Aufgabe 3

 

Die Dreiecke ACS und BCS sind vollständig bekannt (3 Stücke; man beachte die rechten Winkel!).

h : BC = tan(β) => BC

Analog: AC

Mit AC, BC und γ ergibt sich AB via Kosinussatz.

BS und AS können via Pythagoras berechnet werden. Zusammen mit AB und via Kosinussatz ergibt sich σ.

 

 

 

 

 


 
 

Aufgabe 4

 

Wir vernachlässigen zunächst die 1.5 m Augenhöhe und berechnen x: = h - 1.5 m.

Wir führen noch die Horizontaldistanz   Auge - Turm ein (gestrichelte Linie): y.

Nun haben wir 2 Unbekannte eingeführt. Wir benötigen somit 2 Gleichungen:

x : y = tan(51°)

(x + 7) : y = tan(55°)

Wir lösen nach y auf:

y= x / tan(51°) = (x + 7) / tan(55°) (1 Gleichung mit 1 Unbekannten; nach x auflösen):

x = 7⋅tan(51°) / [tan(55°) - tan(51°)]. Lösung: ca. 44.7 m. => h ergibt sich zu ca. 46.2 m.

 

Variante:

Winkel bei der Antennenspitze ganz oben = 35° (Komplementwinkel im rechtwinkligen Dreieck).

7m : sin(4°) = s : sin(35°). (s = Abstand Auge - Turmspitze ohne Antenne).

(h - 1.5) : s = sin(51°) => h - 1.5 = s⋅sin(51°). Dies ergibt für h ebenfalls ca. 46.2 m.


 

 
 

Aufgabe 5

 

Das Dreieck ABC ist vollständig bekannt.

a) β via Sinussatz berechnen; ergibt auch γ via Winkelsumme.

h : BC = sin(γ). Es ergibt sich h.

b) CD : BC = cos(γ). Es ergibt sich CD.

c) γ ist bereits berechnet.

d) Vom Dreieck DMC (M = Zentrum des gezeichneten Inkreises) kennt man zwei Winkel:
45° und γ/2. Folglich kennt man auch den dritten Winkel. Zudem kennt man aus Teilaufgabe b) die Seite CD. Mittels Sinussatz kann nun DM berechnet werden.

e) Sei P der Berührpunkt des gezeichneten Inkreises mit der gezeichneten Höhe h. Sei M wieder das Zentrum des Inkreises.
Man betrachte das rechtwinklige Dreieck DMP. Sein einer Winkel ist 45°, folglich (Winkelsumme) auch der andere (=>gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck). Der gesuchte Inkreisradius ist deshalb
DM / √2.

 

 

 

 

 

 


 
 

Aufgabe 6

       

 

a) Periode: 480°. Verschoben um 60° nach links. Amplitude 1. In y-Richtung keine Verschiebung.

Somit: y = sin[(360°/480°)(α + 60°]) = sin[0.75(α + 60°)].

 

b) Spiegelung an horizontaler Achse: y = - sin[0.75(α + 60°)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 
 

Aufgabe 7

 

Die Funktion ist gegenüber der unveränderten Funktion y = sin(α) um 30° nach rechts verschoben und hat eine Amplitude von 1.5. Zudem ist sie in x-Richtung um Faktor 1 / 0.5, also um Faktor 2, gedehnt.

a) Periode: 720°

b) x = 0: y = 1.5⋅sin(0.5⋅(-30°)) = 1.5⋅sin(-15°) = -0.388

c) Argument = 0°: Für α = 30°.

d) Hochpunkt: Argument = 90° => α = 210°. H(210° / 1.5)
     Tiefpunkt: Argument = 270° => α = 570°. T(570° / - 1.5).

Visualisierung solcher Funktionen: siehe hier.

 


 
 

Aufgabe 8

 

a) = tan²(α) / sin²(α) = (sin²(α) / cos²(α)) / sin²(α) = 1 / cos²(α)

b) = 1 - cos²(α) = sin²(α)

 

 


 
 

Aufgabe 9

 

= cos²(α) / sin²(α) + 1 = (1 - sin²(α)) / sin²(α) + 1 = (1 - sin²(α) + sin²(α)) / sin²(α) =

1 / sin²(α)