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Planimetrie

Pythagoras & Co

   
 
   
 

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pythagoras

 
 

Satz von Pythagoras und Höhensatz

Satz von Pythagoras:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Hypotneusenquadrats gleich der Summe der Flächen der Kathetenquadrate.

Höhensatz von Euklid:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche q⋅p des Rechtecks, das aus den Hypotenusenabschnitten q und p gebildet wurde gleich gross wie die Fläche des Höhenquadrates.

Kathetensätze von Euklid:
Mit den Bezeichnungen im Bild oben (q = linker Hypotenusenabschnitt, p = rechter Hypotenusenabschnitt) gilt:
p⋅c = a2
q⋅c = b2

 

 

  Ein Diagrammbeweis für den Satz von Pythagoras   Ein unkonventioneller weiterer Beweis für den Satz von Pythagoras  
 

 

pyth_grafisch

 

 

pyth_klee

 

 
 

Gegeben ist das gelbe rechtwinklige Dreieck ABC ganz oben: Kathetenlängen a und b, Hypotenusenlänge c. Wir platzieren drei weitere Kopien davon so, wie obige Figur es zeigt.

Wegen der Winkelsumme im Dreieck (180°) entsteht dabei ein grosses Quadrat mit Seitenlänge a + b (ohne "Knick in den Seiten"): α+90°+β=180°=gestreckter Winkel.

Nun gilt für die Fläche dieses grossen Quadrates einerseits:

A = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Binomische Formel).

Andererseits lässt sich diese Quadratfläche auch aus den 4 rechtwinkligen Dreiecken und dem braunen kleinen Quadrat mit Seitenlänge c zusammensetzen:

A = 2ab + c2.

Wir setzen diese beiden Ausdrücke einander gleich:

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2. Auf beiden Seiten subtrahieren wir 2ab und erhalten den "Satz von Pythagoras":

a2 + b2 = c2.

Obiger Beweis ist eine Kombination aus bildlichen und algebraischen Überlegungen. Man kann sich fragen, inwieweit Diagrammbeweise "formal stichhaltig" sind. Plausibel sind sie auf jeden Fall. Die Frage ist philosophisch nicht uninteressant: Inwieweit kann auf "Bilderdenken" in der Mathematik nicht verzichtet werden? Ist ein Beweis lediglich eine formale Kette symbolischer Buchstabenausdrücke oder sind auch Diagrammbeweise zulässig?


"Pythagoras-Baum"

Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras-Baum

 

 

Entstehung hier.

 

Das gegebene rechtwinklige Dreieck in der Mitte obiger Figur wird durch die Höhe in zwei Teildreiecke unterteilt. Wir klappen diese beiden Teildreiecke (1 und 2) nach aussen. Fläche 3 stellt das nach aussen geklappte ganze rechtwinklige Dreieck dar.

Die drei nach aussen geklappten Dreiecke sind zueinander ähnlich, da sie winkelgleich sind.

Offensichtlich ist A1 + A2 = A3, d.h. die Summe der Dreiecksflächen über den Katheten ist gleich der Dreiecksfläche über der Hypotenuse.

Nun errichten wir über jedem herausgeklappten Dreieck das Quadrat, dargestellt durch das Bild von Paul Klee. Die drei Figuren sind zueinander ähnlich, d.h die Quadratfläche ist jedesmal das k-fache der Dreiecksfläche (wir brauchen den Wert von k gar nicht zu kennen).

Aus A1 + A2 = A3 folgt nun, wenn wir diese Gleichung beidseits mit k multiplizieren

kA1 + kA2 = kA3, d.h. der Satz von Pythagoras.

Wir können aufgrund dieser Überlegung den Satz von Pythagoras sofort auf beliebige ähnliche Figuren über den Katheten und der Hypotenuse verallgemeinern, denn wir können über den herausgeklappten Dreiecken beliebige zueinander ähnliche Figuren aufbauen. Der Faktor k wird dann ein anderer, aber es gilt immer noch
kA1 + kA2 = kA3.

Beispielsweise gilt der "Satz von Pythagoras" demnach auch für Smileys:

smileys

Fläche Smiley 1 plus Fläche Smiley 2 = Fläche Smiley 3 oder:

Die Summe der Flächen der Katheten-Smileys ergibt die Fläche des Hypotenusen-Smileys.

Im Bild von Paul Klee (s. oben) gilt z.B. für die gemalten roten Sonnen:
Fläche Sonne 1 plus Fläche Sonne 2 gleich Fläche Sonne 3.
Die Hypotenusensonne ist also die Fusion der beiden Kathetensonnen; der Hypotenusensmiley ist die Fusion der beiden Kathetensmileys.

 
 
 
 
  Look-and-see-Beweis zum Satz von Pythagoras   Look-and-see-Beweis zum Höhensatz  
 

lookandsee1


 
lookandsee2
 
  Seien x, y und z die Flächen der Teildreiecke. x + y = z. Daraus ergibt sich sofort ein sehr allgemeiner "Satz von Pythagoras": Werden über den Katheten und der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ähnliche Figuren aufgebaut, so ist die Summe der Fläche der Kathetenfiguren gleich der Fläche der Hypotenusenfigur.
So ist z.B. die Summe der Fläche der beiden Kathetensonnen im Klee-Bild gleich der Fläche der Hypotenusensonne.
  Werden die beiden grünen Teildreiecke im Holzrahmen vertauscht eingelegt, wird sofort der Höhensatz ersichtlich.  
 
 
 
 

Pythagoras-Puzzle

 

 

 

Puzzle kopieren und ausschneiden. Man puzzle die 5 farbigen Teile (hellblau, dunkelblau, violett, rot, grün) ins braune Quadrat hinein.

 

 

 

Quelle und Online-Puzzle hier:

http://www.etudes.ru/en/etudes/pifagor/

  pyth_puzzle  
 
 
 
 

Kathetensatz-Puzzle

 

Blau: Rechtwinkliges Dreieck.
Braun: Holzrahmen.

 

Durch Umlegen wird der Kathetensatz sofort "sichtbar".

   
 
 
 
  Spezialdreiecke  

 

 
  spezialdreiecke  

Gleichseitiges Dreieck und halbes gleichseitiges Dreieck

1. Drücken Sie h und s durch x aus.

Quadrat und 45°-45°-90°-Dreieck (halbes Quadrat)

2. Drücken Sie d durch s aus.

Lernen Sie diese Beziehungen auswendig.

Lösungen

1. s = 2x.      h = x√3 .    Umgekehrt: x = h / √3

2. d = s√2 .                     Umgekehrt: s = d / √2

 
 
 
 
 

dreieckskette

Drücken Sie die mit "?" bezeichnete Länge durch a aus.

 

Lösung:

2a√2 / √3

 
 
 
 
  Umgang mit Wurzeln ("exakte Lösungen")  

 

 
 

wurzelaufg

Drücken Sie die Hypotenuse durch a aus. Lassen Sie Wurzeln stehen.

 

Lösung:

 

wurzelaufg_loes

 
 
 
 
  Einfache Berechnungsaufgaben      
 

Berechnen Sie die fehlenden Stücke des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
q = Hypotenusenabschnitt, welcher der Seite b anliegt ("linker Abschnitt")
p = Hypotenusenabschnitt, welcher der Seite a anliegt ("rechter Abschnitt")
h = hc
A = Fläche

  a b c h q p A
a) 7 24
b) 25/13 144/13
c) √5 4
d) 2 8.5
 

Lösung:

  a b c h q p A
a) 7 24 25 6.72 23.04 1.96 84
b) 12 5 13 60/13 25/13 144/13

30

c) √20 √5 5 2 1 4 5
d) √4.25 bzw. √68 √68 bzw. √4.25 8.5 2 0.5 bzw. 8 8 bzw. 0.5 8.5

Tipp zu c:     q = c - 4. Kathetensatz: c(c - 4) = b2 = 5 => c.
Tipp zu d:     2A / h = c.   Dann z.B. 2 Gleichungen: q⋅p = 4 und q + p = 8.5 => q, p.

 
 
 
 
  Aufgaben      
 

1. aufg1

Einem Quadrat ist wie gezeigt ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben. Wie gross ist x ausgedrückt durch a?

  2. In einen Trichter mit Öffnungswinkel 60° fällt ein Ball von 10 cm Durchmesser. Wie weit sind Trichterspitze und Ballmittelpunkt voneinander entfernt?  
 
 
 
 

Lösung

aufg1loes

Wir betrachten die Diagonale des Quadrats. Sie hat Länge a√2.
Es gilt (s.Bild): (x/2)√3 + x/2 = a√2.
Es folgt x√3 + x = 2a√2 => x(√3 + 1) = 2a√2 => x = (2a√2) / (√3 + 1) ≈ 1.035a.

 

2. aufg2loes

x = 2⋅5 cm = 10 cm. (Das schraffierte Dreieck ist ein halbes gleichseitiges Dreieck.)

 
 
 
 
  Kreisberühraufgaben      
 

Arbeitstipps für Kreisberühraufgaben:

-Alle Berührpunkte und Berührradien einzeichnen
-Gegebenes und Gesuchtes mit Buchstaben bezeichnen.
-Ergänzungsstrecken ebenfalls bezeichnen.

 
masswerk       masswerk2
 
 
1.kb1 2. kb2
 
3. kb34. kb5
 
 

1. Gesucht ist der Radius x des gelben Kreises ausgedrückt durch a.

2. Gesucht ist der Radius x des grossen Halbkreises ausgedrückt durch die Länge der Quadratseite a.

 

3. Gesucht ist der Radius x des kleinen gelben Kreises ausgedrückt durch die Breite a des Spitzbogenfensters (=Durchmesser des violetten Halbkreises).

4. Gesucht ist x ausgedrückt durch r.

 
 
 
 
  Lösungen:      
 

kb_loes1

              Das rechtwinklige Dreieck unten links in Aufgabe 2 hat die Proportionen
              7 : 24 : 25.

 

 

 

 

 

kb_loes2

              Das hellblaue rechtwinklige Dreieck in Aufgabe 3 hat die Proportionen
              3 : 4 : 5, ebenso das rechtwinklige Dreieck in Aufgabe 4.

 

 
 
 

Entstehungsreihe Pythagorasbaum

              

Figur 0       Figur 1                  Figur 2                                Figur 3

 

 

  

                     Figur 4                                                 Figur 5

 
 

                        Figur 6                                                       Figur 8

 
pythbaum  

Die Figur Nr. "unendlich" ist ein sogenanntes Fraktal, ein Gebilde mit "unendlich ausgefranstem Rand".

In jeder Figur ist die Gesamtfläche der äussersten "Blätter" gleich der Fläche des untersten Quadrates (warum?).

Figur 10