Planimetrie

Pythagoras & Co

Satz von Pythagoras und Höhensatz

Satz von Pythagoras:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Hypotneusenquadrats gleich der Summe der Flächen der Kathetenquadrate.

Höhensatz von Euklid:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche q⋅p des Rechtecks, das aus den Hypotenusenabschnitten q und p gebildet wurde gleich gross wie die Fläche des Höhenquadrates.

Kathetensätze von Euklid:
Mit den Bezeichnungen im Bild oben (q = linker Hypotenusenabschnitt, p = rechter Hypotenusenabschnitt) gilt:
p⋅c = a²
q⋅c = b²

Gegeben ist das gelbe rechtwinklige Dreieck ABC ganz oben: Kathetenlängen a und b, Hypotenusenlänge c. Wir platzieren drei weitere Kopien davon so, wie obige Figur es zeigt.

Wegen der Winkelsumme im Dreieck (180°) entsteht dabei ein grosses Quadrat mit Seitenlänge a + b (ohne "Knick in den Seiten"): α+90°+β=180°=gestreckter Winkel.

Nun gilt für die Fläche dieses grossen Quadrates einerseits:

A = (a + b)² = a² + 2ab + b² (Binomische Formel).

Andererseits lässt sich diese Quadratfläche auch aus den 4 rechtwinkligen Dreiecken und dem braunen kleinen Quadrat mit Seitenlänge c zusammensetzen:

A = 2ab + c².

Wir setzen diese beiden Ausdrücke einander gleich:

a² + 2ab + b² = 2ab + c². Auf beiden Seiten subtrahieren wir 2ab und erhalten den "Satz von Pythagoras":

a² + b² = c².

"Pythagoras-Baum"
Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras-Baum

Entstehung hier.

Das gegebene rechtwinklige Dreieck in der Mitte obiger Figur wird durch die Höhe in zwei Teildreiecke unterteilt. Wir klappen diese beiden Teildreiecke (1 und 2) nach aussen. Fläche 3 stellt das nach aussen geklappte ganze rechtwinklige Dreieck dar.

Die drei nach aussen geklappten Dreiecke sind zueinander ähnlich, da sie winkelgleich sind.

Offensichtlich ist A₁ + A₂ = A₃, d.h. die Summe der Dreiecksflächen über den Katheten ist gleich der Dreiecksfläche über der Hypotenuse.

Nun errichten wir über jedem herausgeklappten Dreieck das Quadrat, dargestellt durch das Bild von Paul Klee. Die drei Figuren sind zueinander ähnlich, d.h die Quadratfläche ist jedesmal das k-fache der Dreiecksfläche (wir brauchen den Wert von k gar nicht zu kennen).

Aus A₁ + A₂ = A₃ folgt nun, wenn wir diese Gleichung beidseits mit k multiplizieren

kA₁ + kA₂ = kA₃, d.h. der Satz von Pythagoras.

Wir können aufgrund dieser Überlegung den Satz von Pythagoras sofort auf beliebige ähnliche Figuren über den Katheten und der Hypotenuse verallgemeinern, denn wir können über den herausgeklappten Dreiecken beliebige zueinander ähnliche Figuren aufbauen. Der Faktor k wird dann ein anderer, aber es gilt immer noch
kA₁ + kA₂ = kA₃.

Beispielsweise gilt der "Satz von Pythagoras" demnach auch für Smileys:

Fläche Smiley 1 plus Fläche Smiley 2 = Fläche Smiley 3 oder:

Die Summe der Flächen der Katheten-Smileys ergibt die Fläche des Hypotenusen-Smileys.

Im Bild von Paul Klee (s. oben) gilt z.B. für die gemalten roten Sonnen:
Fläche Sonne 1 plus Fläche Sonne 2 gleich Fläche Sonne 3.
Die Hypotenusensonne ist also die Fusion der beiden Kathetensonnen; der Hypotenusensmiley ist die Fusion der beiden Kathetensmileys.

Pythagoras-Puzzle

Puzzle kopieren und ausschneiden. Man puzzle die 5 farbigen Teile (hellblau, dunkelblau, violett, rot, grün) ins braune Quadrat hinein.

Quelle und Online-Puzzle hier:

http://www.etudes.ru/en/etudes/pifagor/

Kathetensatz-Puzzle

Blau: Rechtwinkliges Dreieck.
Braun: Holzrahmen.

Durch Umlegen wird der Kathetensatz sofort "sichtbar".

Gleichseitiges Dreieck und halbes gleichseitiges Dreieck

1. Drücken Sie h und s durch x aus.

Quadrat und 45°-45°-90°-Dreieck (halbes Quadrat)

2. Drücken Sie d durch s aus.

Lernen Sie diese Beziehungen auswendig.

Lösungen

1. s = 2x.      h = x√3 .    Umgekehrt: x = h / √3

2. d = s√2 .                     Umgekehrt: s = d / √2

Drücken Sie die mit "?" bezeichnete Länge durch a aus.

Lösung:

2a√2 / √3

Drücken Sie die Hypotenuse durch a aus. Lassen Sie Wurzeln stehen.

Lösung:

Berechnen Sie die fehlenden Stücke des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
q = Hypotenusenabschnitt, welcher der Seite b anliegt ("linker Abschnitt")
p = Hypotenusenabschnitt, welcher der Seite a anliegt ("rechter Abschnitt")
h = h_c
A = Fläche

Lösung:

Tipp zu c:     q = c - 4. Kathetensatz: c(c - 4) = b² = 5 => c.
Tipp zu d:     2A / h = c.   Dann z.B. 2 Gleichungen: q⋅p = 4 und q + p = 8.5 => q, p.

1.

Einem Quadrat ist wie gezeigt ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben. Wie gross ist x ausgedrückt durch a?

Lösung

Wir betrachten die Diagonale des Quadrats. Sie hat Länge a√2.
Es gilt (s.Bild): (x/2)√3 + x/2 = a√2.
Es folgt x√3 + x = 2a√2 => x(√3 + 1) = 2a√2 => x = (2a√2) / (√3 + 1) ≈ 1.035a.

2.

x = 2⋅5 cm = 10 cm. (Das schraffierte Dreieck ist ein halbes gleichseitiges Dreieck.)

1. Gesucht ist der Radius x des gelben Kreises ausgedrückt durch a.

2. Gesucht ist der Radius x des grossen Halbkreises ausgedrückt durch die Länge der Quadratseite a.

3. Gesucht ist der Radius x des kleinen gelben Kreises ausgedrückt durch die Breite a des Spitzbogenfensters (=Durchmesser des violetten Halbkreises).

4. Gesucht ist x ausgedrückt durch r.

              Das rechtwinklige Dreieck unten links in Aufgabe 2 hat die Proportionen
              7 : 24 : 25.

              Das hellblaue rechtwinklige Dreieck in Aufgabe 3 hat die Proportionen
              3 : 4 : 5, ebenso das rechtwinklige Dreieck in Aufgabe 4.

Entstehungsreihe Pythagorasbaum

Figur 0       Figur 1                  Figur 2                                Figur 3

                     Figur 4                                                 Figur 5

                        Figur 6                                                       Figur 8