Skript "Logarithmen", pdf 9.1 MB
22 Seiten
Inhalt
- Erster Zugang: Tonintervalle
- Zweiter Zugang: Das "Basis-Projekt": Jede Zahl wird als Potenz zu einer fest gewählten Basis geschrieben.
- loga(z) = x ⇔ ax = z
- Die Logarithmengesetze
- Lösen von Exponentialgleichungen durch Logarithmieren
- Logarithmieren und Exponieren (Entlogarithmieren) als Umkehroperationen
- Lösen von Logarithmengleichungen durch Exponieren; Aussondern von Scheinlösungen
- Anhang: Das Weber-Fechnersche Gesetz der Wahrnehmung; Dezibel-Skala
Die chromatische Tonleiter in gleichstufiger Stimmung als Spirale dargestellt. Start: Schlüssel-c (1⋅261.6 Hz).
Oktav-Nummer: -1 0 1 2 3 4 5 6 7
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Frequenz-Zahl*: ½ 1 2 4 8 16 32 64 128
*) Frequenz-Zahl = Anzahl Vielfache einer Grundfrequenz, z.B. 261.6 Hz (Schlüssel-c Klavier). 1 bedeutet dann 1⋅261.6 Hz, 2 bedeutet 2⋅261.6 Hz, usw.
Tabelle oben: Die Oktav-Nummern sind die Exponenten (= Logarithmen) zur Basis 2 der Frequenz-Zahlen der unteren Zeile.
Erklärung zum Bild oben
Ein Punkt bewege sich -ausgehend vom Startpunkt (1 | 0) auf der x-Achse- entlang der blauen Spirale im Gegenuhrzeigersinn. Zu jedem Ort des Punktes gehören ein Radius und ein Drehwinkel.
Die Länge r des Radius stelle die Frequenz des Tones dar (als Vielfaches einer Grundfrequenz ν, z.B. ν = 261.6 Hz = Frequenz des Klavier-Schlüssel-c). r = 1 bedeute also die Frequenz 1⋅261.6 Hz, r = 2 bedeutet 2⋅261.6 Hz, usw.
Ein Drehwinkel von 30° bedeutet einen Halbtonschritt (kleine Sekunde in gleichstufiger Stimmung).
Eine Volldrehung entspricht einem Oktavsprung respektive einer Frequenzverdoppelung.
Wir sehen, dass die Anzahl Oktavschritte ab Start sich als Exponent zur Basis 2 der zugehörigen Radiuslänge r ergibt. Beispiel: r = 8 = 23 => Das sind 3 Oktavschritte ab Start. Natürlich sind auch gebrochene Oktavschritte möglich. Die Oktavschritte sind die Zweierlogarithmen der zugehörigen Radiuslänge r. Wollen wir lieber mit Halbtonschritten rechnen, verwandeln wir einen Oktavschritt in 12 Halbtonschritte.
Obertonreihe (Grundton grosses C). Die kleinen Zahlen geben die Abweichungen in Cent gegenüber der gleichstufigen Stimmung an (1 cent = 1/100 Halbtonschritt). Man sieht die logarithmische Beziehung zwischen Frequenz (Horizontale) und Tonabständen (Vertikale).
Bildquelle
Zur gleichstufigen Stimmung (Wikipedia)
www.lehrklaenge.de
Beispiele für Berechnungen:
1. Welche Frequenz hat a' ?
Antwort: Die Oktav-Nummer ist 0.75 (0.75 Oktavschritte ab Startton c'). Die Frequenzzahl ist folglich 20.75 ≈1.68179, die Frequenz 1.68179⋅261.6 Hz ≈ 440 Hz (Kammerton a').
2. Die Obertonreihe besteht aus den Tönen, deren Frequenzen das doppelte, dreifache, vierfache, ... der Frequenz des Grundtones sind. Welcher Ton ist der Oberton mit der dreifachen Frequenz des Tones c' ?
Antwort: Wir suchen die Oktav-Nummer x:
3 = 2x . Diese Exponentialgleichung kann durch Logarithmieren (s. Link zum Skript) gelöst werden. Es ergibt sich x ≈1.58496 Oktavschritte oder 12⋅1.58496 Halbtonschritte ab c'. Das sind ca. 19.02 Halbtonschritte. Wir landen ungefähr bei g''.