Logarithmen, Exponentialfunktion

Online-PowerPoint-Diaschau "Einführung in die Logarithmen"

Einführung der Logarithmen am Beispiel musikalischer Intervalle

Exponentiell fallende Funktion bei der Gitarrenmensur

Skript "Logarithmen", pdf 9.1 MB
22 Seiten
Inhalt

• Erster Zugang: Tonintervalle
• Zweiter Zugang: Das "Basis-Projekt": Jede Zahl wird als Potenz zu einer fest gewählten Basis geschrieben.
• log_a(z) = x   ⇔   a^x = z
  
• Die Logarithmengesetze
• Lösen von Exponentialgleichungen durch Logarithmieren
• Logarithmieren und Exponieren (Entlogarithmieren) als Umkehroperationen
• Lösen von Logarithmengleichungen durch Exponieren; Aussondern von Scheinlösungen
• Anhang: Das Weber-Fechnersche Gesetz der Wahrnehmung; Dezibel-Skala

Weiteres Einführungsskript ins Thema "Logarithmen", pdf, 9.6 MB
Inhalt

• Frequenzverdoppelung ↔ Oktavsprung
• Logarithmengesetze und einführende Übungen dazu
• Exponentialgleichungen lösen
• Übungen, Probetest
• Das Weber-Fechnersche Gesetz der Wahrnehmung, Dezibel-Skala, Schalldruckpegel
• Das Gesetz von Benford
• Die Logarithmische Spirale: Tonleiterspirale, Spiralformen in der Natur, eine erstaunliche Eigenschaft der logarithmischen Spirale
• Der natürliche Logarithmus und die Eulerzahl e (Herleitung aus stetiger Verzinsung)

"Geometrisches" Wachstum / logarithmische Spiralen

Skript "Musik und Mathematik - Einführung" (mit Einführung der Zweierlogarithmen), pdf

Die chromatische Tonleiter in gleichstufiger Stimmung als Spirale dargestellt. Start: Schlüssel-c (1⋅261.6 Hz).

Oktav-Nummer:  -1   0   1   2   3   4   5   6   7  
--------------------------------------------------
Frequenz-Zahl*: ½   1   2   4   8  16  32  64 128

*) Frequenz-Zahl = Anzahl Vielfache einer Grundfrequenz, z.B. 261.6 Hz (Schlüssel-c Klavier). 1 bedeutet dann 1⋅261.6 Hz, 2 bedeutet 2⋅261.6 Hz, usw.

Tabelle oben: Die Oktav-Nummern sind die Exponenten (= Logarithmen) zur Basis 2 der Frequenz-Zahlen der unteren Zeile.

Erklärung zum Bild oben
Ein Punkt bewege sich -ausgehend vom Startpunkt (1 | 0) auf der x-Achse- entlang der blauen Spirale im Gegenuhrzeigersinn. Zu jedem Ort des Punktes gehören ein Radius und ein Drehwinkel.
Die Länge r des Radius stelle die Frequenz des Tones dar (als Vielfaches einer Grundfrequenz ν, z.B. ν = 261.6 Hz = Frequenz des Klavier-Schlüssel-c). r = 1 bedeute also die Frequenz 1⋅261.6 Hz, r = 2 bedeutet 2⋅261.6 Hz, usw.
Ein Drehwinkel von 30° bedeutet einen Halbtonschritt (kleine Sekunde in gleichstufiger Stimmung).
Eine Volldrehung entspricht einem Oktavsprung respektive einer Frequenzverdoppelung.

Wir sehen, dass die Anzahl Oktavschritte ab Start sich als Exponent zur Basis 2 der zugehörigen Radiuslänge r ergibt. Beispiel: r = 8 = 2³ => Das sind 3 Oktavschritte ab Start. Natürlich sind auch gebrochene Oktavschritte möglich. Die Oktavschritte sind die Zweierlogarithmen der zugehörigen Radiuslänge r. Wollen wir lieber mit Halbtonschritten rechnen, verwandeln wir einen Oktavschritt in 12 Halbtonschritte.

Obertonreihe (Grundton grosses C). Die kleinen Zahlen geben die Abweichungen in Cent gegenüber der gleichstufigen Stimmung an (1 cent = 1/100 Halbtonschritt). Man sieht die logarithmische Beziehung zwischen Frequenz (Horizontale) und Tonabständen (Vertikale).

Bildquelle
Zur gleichstufigen Stimmung (Wikipedia)
www.lehrklaenge.de

Beispiele für Berechnungen:

1. Welche Frequenz hat a' ?
Antwort: Die Oktav-Nummer ist 0.75 (0.75 Oktavschritte ab Startton c'). Die Frequenzzahl ist folglich 2^0.75 ≈1.68179, die Frequenz 1.68179⋅261.6 Hz ≈ 440 Hz (Kammerton a').

2. Die Obertonreihe besteht aus den Tönen, deren Frequenzen das doppelte, dreifache, vierfache, ... der Frequenz des Grundtones sind. Welcher Ton ist der Oberton mit der dreifachen Frequenz des Tones c' ?
Antwort: Wir suchen die Oktav-Nummer x:
3 = 2^x . Diese Exponentialgleichung kann durch Logarithmieren (s. Link zum Skript) gelöst werden. Es ergibt sich x ≈1.58496 Oktavschritte oder 12⋅1.58496 Halbtonschritte ab c'. Das sind ca. 19.02 Halbtonschritte. Wir landen ungefähr bei g''.

Grundphänomen, demonstrierbar am Monochord:
Halbierung der Saite durch einen Monochordreiter lässt die Oktave erklingen.
Zur Oktave gehört somit das Saitenlängenverhältnis 1 : 2.

Die halb so lange Saite schwingt doppelt so schnell. Zur Oktave gehört somit das Frequenzverhältnis 2 : 1.
(Das Frequenzverhältnis ist der Kehrwert des Saitenlängenverhältnisses.)

Jedem Intervall kann ein Saitenlängenverhältnis oder (als Kehrwert davon) ein Frequenzverhältnis zugeordnet werden.

Im Laufe der Musikgeschichte wurde die Oktave auf verschiedene Arten in Tonleitertöne und damit in Teil-Intervalle gegliedert.

Beispiel: Drei verschiedene Stimmungen

Pythagoräische C-Dur-Tonleiter aufgebaut auf reinen Quinten (3/2):
Diese Stimmung geht auf die Pythagoräer zurück und baut neben der Oktave auf "reinen Quinten" (Frequenzverhältnis 3 : 2) auf.

Rein gestimmte C-Dur Tonleiter (reine Quinten, reine Terzen)
Diese Stimmung wurde in der Barockzeit wichtig. Sie baut neben der Oktave auf reinen Quinten (Frequenzverhältnis 3 : 2) und reinen Terzen (Frequenzverhältnis 5 : 4) auf. A capella-Chöre und Streich-Ensembles verwenden diese Stimmung zum Teil noch heute.

Moderne gleichstufig-temperierte Stimmung, chromatisch
Hier wird die Oktave in 12 exakt gleiche Halbtonschritte unterteilt, was ein Transponieren in alle Tonarten erlaubt. Verwendet bei Instrumenten mit fixen Tönen (Klavier, Gitarre, ...).

Chromatische Tonleiter auf dem Monochord (von unten nach oben)

Frequenzverhältnis, Oktavmass und Centmass eines Intervalls

Stimmgeräte geben die Abweichung eines Tones vom Zielton in Cent an. Was ist darunter zu verstehen?

Bildquelle: http://www.proguitartuner.com/blog/iphone-guitar-tuner-app

Intervalle kann man addieren und subtrahieren:
Quinte plus Quarte = Oktave.
Oktave minus Quarte = Quinte.

Wir erkennen folgende Regel:

Man kann die rechts oben formulierte Regel so ausdrücken:

Die Intervalle unserer Hörempfindung bilden eine additive Struktur.
Die zugehörigen physikalischen Frequenzverhältnisse bilden eine multiplikative Struktur.

Beispiele:
a) Berechnung des Frequenzverhältnisses des pythagoräischen Ganztons c-d:
Von c aus addierten die Pythagoräer eine Quinte und landeten bei g. Von dort aus addierten sie erneut eine Quinte und landeten bei d'. Dann subtrahierten sie eine Oktave und landeten bei d. Damit hatten sie das Ganztonintervall (c, d) erzeugt:
Quinte + Quinte - Oktave = Ganzton. Bei den Frequenzverhältnissen sieht dies so aus:
(3/2)⋅ (3/2) : (2/1) = 9/8. Dem Intervall c-d entspricht also das Frequenzverhältnis 9/8. Dies zeigt auch die Tabelle der pythagoräischen Stimmung (oben).

b) Pythagoräische grosse Terz c-e:

c ----------- g ----------- d' ----------- d ----------- a ----------- e' ------------ e
    Quinte  +    Quinte   -   Oktave  +   Quinte   +   Quinte  -   Oktave

Dem entspricht die Rechnung mit den Frequenzverhältnissen:

(3/2) ⋅ (3/2) : (2/1) ⋅ (3/2) ⋅ (3/2) : (2/1) = 81/64 wie in der Tabelle oben angegeben.

Die pythagoräische grosse Terz mit 81/64 ist also etwas grösser als die barocke grosse Terz mit 80/64 = 5/4 (siehe Tabellen oben).

Das Oktavmass eines Intervalls; die Zweierlogarithmen

Wir geben der Oktave das Grössenmass 1 und nennen es "Oktaveinheit" OE. Eine Doppeloktave hat dann 2 OE, eine Dreifachoktave 3 OE, usw. Die Prim hat das Oktavmass 0 OE. Die Quinte hat ein Mass zwischen 0 und 1. Wir betrachten den Zusammenhang zwischen dem Frequenzverhältnis eines Intervalls und dem Oktavmass des Intervalls:

Zunächst betrachten wir nur Oktavschritte:

Wir sehen folgendes:

Das Oktavmass ist der Exponent zur Basis 2 des Frequenzverhältnisses z.
Wir schreiben also das Frequenzverhältnis z als Zweierpotenz und fischen den Exponenten heraus.

Diese Exponenten haben einen speziellen Namen erhalten: Sie heissen
Logarithmen zur Basis 2 oder Zweierlogarithmen von z.

Um den Zweierlogarithmus einer Zahl z zu bestimmen, fragen wir also:

2^was?= z

Beispiel:   2^was?= 8 . Antwort: 3, also ist log₂(8) = 3.

Zeigen Sie anhand obiger Definition: log₂(1) = 0,  log₂(2) = 1.

Betrachten Wir noch einmal die Tabelle von vorher:

Von der unteren zur oberen Zeile gelangen wir mit Hilfe der log₂-Taste (wir bilden den Zweierlogarithmus).
Von der oberen zur unteren Zeile gelangen wir umgekehrt durch die Operation
2^{( )} (Exponieren mit Basis 2).

Wir sahen:

Das Oktavmass eines Intervalls mit Frequenzverhältnis z ist der Zweierlogarithmus von z, in Zeichen log₂(z).

Nun kann der Taschenrechner auch Logarithmen bestimmen, die nicht aufgehen. Wir nehmen als Beispiel die barocke reine Quinte mit z = 3/2.
Welches ist das zugehörige Oktavmass?
Wir bilden log₂(3/2) ≈ 0.58496...
Eine barocke reine Quinte macht also etwa 58.5% einer Oktave aus.

Zum Oktavmass gibt es noch ein kleineres Mass: das Cent:

1 OE = 1200 cent .

1 Oktave wird also in 1200 Cent-Schritte eingeteilt. Unser moderner Halbtonschritt als 1/12 Oktave hat dann 100 Cent.
1 Cent ist also 1/100 Halbtonschritt.

Eine barocke Quinte hat somit 1200⋅ 0.58496 cent = 702 cent.
Im Vergleich dazu hat unsere moderne "Klavier-Quinte" (7 Halbtonschritte) genau 700 cent.

Die Logarithmengesetze

Wir betrachten noch einmal diese Tabelle:
untere Zeile: Frequenzverhältnis z; obere Zeile: Oktavmass OE = Zweierlogarithmus von z.

Wir bemerken: Multiplizieren wir zwei Zahlen der unteren Zeile
(Beispiel: 4⋅ 8 = 32), so entspricht dem eine Addition der zugehörigen Logarithmenzahlen in der oberen Zeile (2 + 3 = 5).

Division in der unteren Zeile korrespondiert mit Subtraktion in der oberen Zeile.

Es gilt also z.B.:
log₂(4⋅8) = log₂(4) + log₂(8) und
log₂(32:8) = log₂(32) - log₂(8) .

Wir finden allgemein:

log₂(u⋅v) = log₂(u) + log₂(v)

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der einzelnen Logarithmen.

log₂(u:v) = log₂(u) - log₂(v)

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der einzelnen Logarithmen.

Aus dem oberen Logarithmengesetz folgt, wenn wir u = v setzen:

log₂(u²) = log₂(u⋅u)=log₂(u) + log₂(u) = 2⋅log₂(u)

oder allgemein:

log₂(uⁿ) = log₂(u⋅... ⋅u)=log₂(u) + ... + log₂(u) = n ⋅log₂(u)

log₂(uⁿ) = n⋅log₂(u)

Logarithmieren wir eine Potenz, so können wir den Exponenten "herausspringen" lassen und vor den Logarithmus ziehen.

Die Logarithmengesetze gelten nicht nur für die Basis 2, sondern für jede gewählte Basis.

Exponentiell fallende Funktion L = f(x); L = Länge von Bund Nr. x zum Steg (= schwingende Länge)
(Bund Nr. 0 = Sattel):

Sei L die Länge des schwingenden Teils der Gitarrensaite (Bund - Steg). Sei x die Nummer des Bundes (0 ... 19). Es gilt dann:

L(x) = L(0)⋅ 0.5 ^x/12.