1. Lösungsmengen von Ungleichungssystemen
Vier Beispiele:
(1): y ≤ -x + 6 (2): y ≥ -0.7x + 4 (3): x ≥ 2 (4): x ≤ 5 |
(1): y ≤ -x + 6 (2): y ≤ 4 (3): y ≥ 2 |
(1): y ≥ -x + 6 (2): x ≥ 1 (3): y ≥ 2x |
(1): y ≥ -x + 6 (2): x ≤ 1 (3): y ≤ 2x |
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2. Vom Text zur Ungleichung
In einer Fruchtmischung aus gedörrten Apfel- und Birnenstücken hat es mindestens doppelt so viele Birnen- wie Apfelstücke.
Sei x die Anzahl Apfelstücke und y die Anzahl Birnenstücke in der Mischung. Wie lautet die zu obigem Text passende Ungleichung?
1. Schritt: Wir lassen das "mindestens" weg und suchen die Gleichung: "Es hat doppelt so viele Birnenstücke wie Apfelstücke":
y <----------------------> x
Welche Seite ist grösser? Die y-Seite. Um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen, müssen wir also die x-Seite vergrössern:
y = 2x
2. Schritt: "mindestens" wieder einbauen: Es können auch noch mehr Birnenstücke sein:
y ≥ 2x.
Seien nun stets zwei Sorten von Dingen gegeben: A-Teile und B-Teile. Sei x die Anzahl A-Teile und y die Anzahl B-Teile. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele wie sie in Textaufgaben vorkommen. Trainieren Sie mit dieser Tabelle, indem Sie nur die Textspalte betrachten und versuchen, die Ungleichungen zu notieren.
| Nr. | Text | Gleichung | Ungleichung | Bemerkungen |
| 01 | Es hat mindestens doppelt so viele A-Teile wie B-Teile. | x = 2y | x ≥ 2y | |
| 02 | Es hat höchstens drei Mal so viele A- wie B-Teile. | x = 3y | x ≤ 3y |
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| 03 | Es hat höchstens 3/4 so viele A- wie B-Teile. | x = 3y / 4 | x ≤ 3y /4 <=> 4x ≤ 3y | |
| 04 | Es hat mindestens 20% mehr B-Teile als A-Teile. | y = x + x / 5 = 6x / 5 = 1.2x | y ≥ 1.2x <=> 5y ≥ 6x | Achtung: 20% von x mehr = x/5 mehr |
| 05 | Es hat höchstens ein Drittel mehr A- als B-Teile. | x = y + y / 3 = 4y / 3 | x ≤ 4y / 3 <=> 3x ≤ 4y | |
| 06 | Höchstens 70% aller Teile sind B-Teile. | y = 0.7 (x + y) | y ≤ 0.7 (x + y) <=> y ≤ 0.7x+0.7y <=> 0.3y ≤ 0.7x <=> 3y ≤ 7x | alle Teile: x + y |
| 07 | Eine Mischung enthält höchstens 10% mehr A- als B-Teile. | x = 1.1y | x ≤ 1.1y <=> 10x ≤ 11y | |
| 08 | Es hat mindestens ein Drittel mehr B- als A-Teile. | y = 4x / 3 | y ≥ 4x / 3 <=> 3y ≥ 4x | gleiches Resultat wie Nr. 3. Dort war x die Vergleichsbasis; hier ist es y. |
| 09 | Es hat höchstens halb so viele A-Teile wie B-Teile. | x = 0.5y | x ≤ 0.5y <=> 2x ≤ y | |
| 10 | Die Anzahl der A-Teile ist mindestens 1/4 kleiner als die Anzahl B-Teile. | x = y - y / 4 = 3y / 4 | x ≤ 3y / 4 <=> 4x ≤ 3y | Wie Nr. 3 und 8. "Mindestens kleiner" - > "eher noch kleiner" |
| 11 | Die A- und B-Teile stehen im Verhältnis 3 : 5. | x : y = 3 : 5 <=> 5x = 3y | Innenprodukt = Aussenprodukt | |
| 12 | Die Verteilung der A- und B-Teile in der Mischung ist mindestens 2 : 3. ("Mindestens" heisst: Der Zähler, d.h. x, kann auch grösser sein.) | x : y = 2 : 3 <=> 3x = 2y | 3x ≥ 2y | Innenprodukt = Aussenprodukt |
| 13 | Der Anteil der A-Teile macht weniger als ein Viertel der Gesamtmischung aus. | x = (x + y) / 4 | x < (x + y) /4<=> 4x< x+y<=>3x< y | Gesamtmischung = x + y |
| 14 | Weniger als ein Fünftel aller Teile sind A-Teile. | x = (x + y) / 5 | x < (x + y) / 5 <=> 4x < y | |
| 15 | Es hat höchstens zweieinhalb Mal so viele A- wie B-Teile. | x = 2.5y | x ≤ 2.5y <=> 2x ≤ 5y | |
| 16 | Es hat über 30% mehr A- als B-Teile. | x = 1.3y | x > 1.3y <=> 10x > 13y | |
| 17 | Es hat mindestens 20% weniger A- als B-Teile. | x = 0.8y | x < 0.8 y <=> 5x < 4y |
3. Textungleichungen grafisch darstellen
Beispiel
Es sollen nicht mehr als 1200 Teile gesamthaft produziert werden, jedoch mindestens 250 A-Teile und höchstens 750 B-Teile. Die laufenden Produktionskosten für ein A-Teil betragen 5 Fr., für ein B-Teil 3 Fr. Die gesamten laufenden Produktionskosten sollen 5400 Fr. nicht übersteigen.
Das "lineare Programm" ist das System der zum Text passenden Ungleichungen. Erster Schritt ist immer die Definition der Variablen:
Variablenbeschreibung: x = Anzahl A-Teile; y = Anzahl B-Teile. Lineares Programm: (1): x + y ≤ 1200 (2): x ≥ 250 (3): y ≤750 (4): Kostengleichung: 5x + 3y ≤ 5400 |
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Erläuterungen: Man beachte den Verlauf der roten Geraden x + y = 1200. Am besten zeichnet man sie, indem man die Randpunkte (0 | 1200) und (1200 | 0) zeichnet und diese verbindet. Die blaue Gerade stellt die Begrenzung der Laufkosten dar. Auch diese Gerade findet man am besten über die Randpunkte (0 | 1800) und (1080 | 0), d.h. man setzt zuerst x = 0 und findet y = 1800, anschliessend setzt man y = 0 und findet 5x = 5400 -> x = 1080. - Dies ist wesentlich einfacher, als wenn man die Gleichung in die explizite Form y = -5x /3 + 1800 umwandelt. Die Gleichungen in der Grafik müssen an Prüfungen beschriftet werden, ebenso die Achsen. |
Der grüne Bereich stellt die Produktionsmöglichkeiten dar. Natürlich stellen in diesem Beispiel nur die natürlichen Zahlen sinnvolle Lösungen dar; man kann ja nicht Bruchteile von Stücken produzieren. Die Grundmenge ist also N x N.
Zusatzfrage: Bei welcher Produktion werden 1200 Stück produziert und gleichzeitig die maximalen Produktionskosten voll ausgeschöpft?
Antwort: Schnittpunkt blaue und rote Gerade:
(1): y = 1200 - x einsetzen in (4): 5x + 3 (1200 - x) = 5400 <=> 5x + 3600 - 3x = 5400 <=> 2x = 1800 <=> x = 900; y = 300, d.h. Produktion von 900 A-Teilen und 300 B-Teilen.
Aufgabe 1
Eine Ladenbesitzerin bezieht von ihrer Zulieferfirma zwei Sorten Schuhe: Sorte A zu 160 Fr., Sorte B zu 240 Fr. Von B sollen mindestens halb so viele und höchstens ebenso viele wie von A bestellt werden. Der Einkauf soll die Ladenbesitzerin nicht mehr als 24'000 Fr. kosten. Wie lautet das lineare Programm?
Lösung: x = Anzahl Schuhe Typ A ; y = Anzahl Schuhe Typ B . Lineares Programm: (1): y ≥ 0.5x (2): y ≤ x (3): Kostengleichung: 160x + 240y ≤ 24'000 |
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Zusatzfragen: Welchen Gewinn macht die Ladenbesitzerin beim Einkauf Lösung: a) 4320 Fr.; b) Der Schnittpunkt von (1) und (3) ist (85.7 | 42.9). Der Punkt (85 | 43) liegt noch im grünen Bereich mit Kosten von 23'920 Fr. |
| Aufgabe 2 Zwei Teile A und B werden auf drei Maschinen hergestellt. Jedes der herzustellenden Teile A durchläuft nacheinander die Maschinen 1, 2 und 3, während die Teile B nur die Maschinen 1 und 2 durchlaufen. Nebenstehende Tabelle zeigt die Fertigungszeiten in Minuten pro Stück A bzw. B an jeder Maschine und die tägliche Höchstzeit in Minuten, während der die Maschine zur Verfügung steht. Erstellen Sie das lineare Programm (x = Anzahl produzierter Teile A; y = Anzahl produzierter Teile B) und die Grafik. |
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Lösung: (1): 8x + 6y ≤ 600 (2): 4x + 6y ≤ 480 (3): 5x ≤ 300 |
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Bemerkung: Die x zu produzierenden Teile A durchlaufen nacheinander die Maschinen 1, 2 und 3. Deshalb sind die Gesamtzeiten auf diesen Maschinen 8x, 4x und 5x (mit demselben x bei allen drei Maschinen). Die y zu produzierenden Teile B durchlaufen die Maschinen 1 und 2 mit den Gesamtzeiten 6y und 6y (mit demselben y bei beiden Maschinen). |
Eine Kaffeemischung soll aus zwei Sorten, A und B, gemischt werden. Folgende Bedingungen werden gestellt: Es sollen nicht mehr als 40 kg Mischung hergestellt werden. Sorte A darf mit höchstens 24 kg vertreten sein. Von Anteil B ist ein noch vorhandener Vorrat von 9 kg unbedingt aufzubrauchen. Ferner muss der Anteil von A in der Gesamtmischung mindestens 30% betragen.
a) Wie lautet das lineare Programm? Zeichnen Sie die Grafik mit der Lösungsmenge.
b) Berechnen Sie die vier Ecken des Lösungspolygons.
c) Der Einkaufspreis für 1 kg der Sorte A beträgt 20 Fr., derjenige für 1 kg der Sorte B 30 Fr. Im Laden werden 100 g der Mischung für 3.20 Fr. verkauft. Berechnen Sie den Gewinn bei Herstellung und Verkauf einer Mischung mit x kg von Sorte A und y kg von Sorte B.
d) Welcher der vier Eckpunkte des Lösungspolygons generiert den höchsten Gewinn und wie gross ist dieser?
Lösung a): x = Menge in kg der Sorte A, y = Menge in kg der Sorte B, die für die Mischung genommen werden. (1): x + y ≤ 40 (2): x ≤ 24 (3): y ≥ 9 (4): x ≥ 0.3 (x + y) |
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Bemerkung: Lösung b): Lösung c): Lösung d): |