Übersicht

Gewisse komplizierte Gleichungen können auf eine einfachere Form gebracht werden, indem man ganze Teile durch einen einzigen Buchstaben ersetzt (substituiert). Das Verfahren erinnert an das Verschlüsseln und Entschlüsseln von Texten, wie es schon Kinder gerne tun.

Geheimschriften

Die einfachste Art, einen Text zu verschlüsseln besteht darin, jeden Buchstaben durch einen andern zu ersetzen (zu substituieren). Das kann nach einer Tabelle völlig ungesetzmässig erfolgen, und ein Buchstabe kann auch durch ein beliebiges anderes Symbol ersetzt werden. Man kann aber z.B. auch jeden Buchstaben im Alphabet durch den Buchstaben n Stellen weiter hinten ersetzen. Dazu benutzt man eine Verschlüsselungs-Scheibe, die auch als "Cäsar-Scheibe" bekannt ist.

Hier finden sich dazu weitere Informationen:

http://schulen.eduhi.at/riedgym/leoc/volksschule/geheimschrift/caesarcode.htm

http://www.nordwest.net/hgm/krypto/classic

Cäsarscheibe. Bildquelle siehe Link 1 oben

Natürlich ist ein solcher Code sehr leicht zu knacken.

Wir wenden das Ersetzen von Buchstaben nun auch auf mathematische Gleichungen an. Aus einfachen Gleichungen erhalten wir so kompliziertere, die eine zweite Person dann wieder -durch umgekehrtes Anwenden der Verschlüsselung - vereinfachen kann.

Gleichungen "verschlüsseln" und "entschlüsseln"

Beispiel:

Gegeben ist das folgende, recht komplizierte Gleichungssystem:

Wir "entschlüsseln" dieses komplizierte Gebilde, indem wir 1/x durch u und 1/y durch v ersetzen. Das folgende Bild zeigt diese "Decodierung":

Wir können uns zwei Marken vorstellen. Die erste ist auf der roten Seite mit 1/x und auf der grünen Seite mit u beschriftet, die zweite zeigt auf der roten Seite 1/y und auf der grünen Seite v.

In Kurzschreibweise lautet die Codierung: 1/x = u und 1/y = v.

Indem wir die beiden Marken "auf Grün" drehen, erhalten wir das viel einfachere System:

Dieses einfachere System lösen wir leicht auf, indem wir etwa die obere Gleichung mit 3 und die untere mit 4 multiplizieren:

3u/4 - v = 21

2u/3 + v = -4

Addition beider Gleichungen ergibt 17u/12 = 17 und somit u = 12 und v = -12.

Aus 1/x = 12 folgt x = 1/12, und aus 1/y = -12 folgt y = -1/12. Wir haben somit auch das "rote", komplizierte Gleichungssystem, das anfänglich gegeben war, gelöst.

Man beachte, dass das "rote" und das "grüne" Gleichungssystem verschiedene Lösungen hat. Das grüne hat die Lösungen u = 12 und v = -12, das rote die Lösungen x = 1/12 und y = -1/12.

Hier nochmals eine Zusammenfassung:

Kompliziertes Gleichungssystem		Codierung / Decodierung (Substitution)		Einfaches Gleichungssystem
Lösungen: x = 1/12; y = -1/12				Lösungen u = 12; v = -12

Schwierigere "Codes"

Beispiel:

Dieses System sieht sehr kompliziert aus. Da x und y in beiden Summanden gemischt vorkommen, führt das gewöhnliche Additionsverfahren ohne Substitution nicht zum Ziel.

Wir vereinfachen das Gleichungssystem also durch folgende Substitution:

Das viel einfachere System (1') (2') kann leicht gelöst werden. Wir erhalten u = -3 und v = 4. Das sind jedoch noch nicht die gesuchten Lösungen x und y.

Die müssen wir jetzt noch finden. Die Codierung liefert die Gleichungen (3) und (4):